¿Puede una serie alterna ser absolutamente convergente?

Question

¿Puede una serie alterna ser absolutamente convergente?

Estoy examinando problemas de práctica en mi libro de cálculo y aún no he llegado a través de un caso donde esto es así. Tal vez sea porque son simples, pero estoy realmente curioso.

Answer 1

Sugerencia: Puede tomar cualquier serie convergente (absolutamente) $\sum_{n=0}^\infty{a_n}$ donde $a_n> 0$ y luego considerar $\sum_{n=0}^\infty{(-1)^na_n}$.

Answer 2

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1) ^ n} {2 ^ n} = \frac 2 3. \qquad \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {2 ^ n} = 2. $$

Answer 3

una serie es absolutamente convergente si $\sum |a_n| < M$

Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente cada sub-serie.

Considerar $\sum (-1)^n|a_n|$ la suma de la de los términos incluso converge, la suma de los términos impares converge.

Answer 4

Deje $p_n > 0$ ser una secuencia positiva y $a_n = (-1)^n p_n$ correspondiente secuencia alternante.

Entonces en resumen, si la serie $P =\sum p_n$ hace converger o no, los pares de cancelación poder de tener términos consecutivos de signos opuestos en la serie permite a $A=\sum a_n$ a converger más fácilmente, bajo condiciones más suaves en $p_n$.

Por ejemplo, si $p_n \to 0$ monótono, a continuación, $A$ convergen, lo $P$ (converge o no). Y usted puede fácilmente vinculado a la tasa de convergencia. Esto se llama la regla de Leibniz.

Por ejemplo, la serie armónica alternante $\frac{(-1)^n}{n}$ tiene un número finito de suma ( $-\log 2 \simeq 0.693$ ), pero la serie armónica $\frac{1}{n}$ no. Un simple cambio de los signos permite a su vez una infinita (suma de la serie armónica) en un muy pequeño número.

Si $P$ converge (absolutamente por definición), a continuación, $A$ converge absolutamente demasiado y aún más fácilmente, como se puede ver desde $|A| \le P$.

Por ejemplo, la serie geométrica $1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯$ sumas de dinero a $1$ y alternando su homólogo $1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯$ sumas de dinero a $1/3$.

Finalmente, la alternancia de la serie son útiles en la práctica, pueden ser utilizados para el más rápido numéricos de suma con la serie de aceleración.

Answer 5

Si $\sum |a_n|$ converge, entonces converge para todas las opciones de % la $\sum \pm a_n$ $+$y $-$.