¿Cuál es la diferencia entre la ley de los grandes números débil y fuerte?

Question

No entiendo muy bien cuál es la diferencia entre la ley de los grandes números débil y fuerte.

Débil:

\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}[\mid \bar{X}_n - \mu \mid \leq \epsilon ] = 1 \end{align*}

Fuerte:

\begin{align*} \mathbb{P}[\lim_{n \rightarrow \infty} \bar{X}_n = \mu ] = 1 \end{align*}

¿No es una diferencia muy sutil? Puesto que puedo elegir mi $\epsilon$ arbitrariamente pequeño que puedo escribir para $n \rightarrow \infty$

\begin{align*} \mid \bar{X}_n - \mu \mid \leq \epsilon \\ - \epsilon \leq \bar{X}_n - \mu \leq \epsilon \\ \mu - \epsilon \leq \bar{X}_n \leq \mu + \epsilon \end{align*}

Lo que por supuesto significa que como $\epsilon \approx 0$ debe ser la misma que $\lim_{n \rightarrow \infty} \bar{X}_n = \mu$ .

Así que..: ¿En qué sentido esas condiciones son realmente " diferente "?

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Respecto a la ley débil me gustaría saber si realmente son lo mismo:

\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}[\mid \bar{X}_n - \mu \mid > \epsilon] = \mathbb{P}[ \mid \lim_{n \rightarrow \infty} \bar{X}_n - \mu \mid > \epsilon] \end{align*}

Lo pregunto porque la ley débil siempre se escribe como la l.h.s. pero la ley fuerte siempre tiene $\lim_{n \rightarrow \infty}$ dentro del operador de probabilidad ..

Answer 1

La ley débil de los grandes números se refiere a la convergencia en probabilidad, mientras que la ley fuerte de los grandes números se refiere a la convergencia casi segura.

Decimos que una secuencia de variables aleatorias $\{Y_n\}_{n=1}^{\infty}$ converge en probabilidad a una variable aleatoria $Y$ si, para todo $\epsilon>0$ , $\lim_n P(|Y_n-Y|>\epsilon)=0$ .

Decimos que una secuencia de variables aleatorias $\{Y_n\}_{n=1}^{\infty}$ converge casi con seguridad a una variable aleatoria $Y$ si $\lim_n Y_n(\omega)=Y(\omega)$ para casi todos los $\omega$ Eso es, $P(\{\omega:\lim_nY_n(\omega)=Y(\omega)\})=1$ .

La convergencia casi segura implica convergencia en probabilidad, pero lo contrario no es cierto (por eso las leyes de los grandes números se llaman fuerte y débil respectivamente). Para ver que la inversa no es cierta, basta con considerar variables aleatorias discretas $Y_n$ satisfaciendo $P(Y_n=1)=1/n$ y $P(Y_n=0)=1-1/n$ . Dado $0<\epsilon<1$ , $P(|Y_n|\leq\epsilon)=p(Y_n=0)=1-1/n\rightarrow 1$ Así que $Y_n\rightarrow 0$ en probabilidad. Sin embargo, como $\sum_n P(Y_n=1)=\infty$ por el lema de Borel-Cantelly tenemos que, para casi todo $\omega$ , $Y_n(\omega)=1$ para infinitas $n$ 's. La secuencia $\{Y_n\}$ no converge casi con seguridad.

En cuanto a su razonamiento, el hecho de que $\lim_nP(|\bar{X}_n-\mu|\leq\epsilon)=1$ no implica que, para grandes $n$ , $|\bar{X}_n-\mu|\leq\epsilon$ . En mi ejemplo anterior, no tiene $|Y_n|\leq\epsilon$ para cada $n$ como $Y_n=1$ para infinitas $n$ 's.

Answer 2

En cuanto a tu última pregunta (¿son realmente lo mismo?). Bueno, podemos demostrar que son iguales utilizando el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, sólo si ya sabemos que casi con seguridad $X_n$ tiene un límite. Así que necesitamos la ley de los grandes números para demostrar la ley de los grandes números usando tu truco.

Answer 3

La ley débil describe cómo converge una secuencia de probabilidades, y la ley fuerte describe cómo se comporta una secuencia de variables aleatorias en el límite.