Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{e^x(x + 1)}{e^{2x}(x^2 - 1)}$

Question

Debo hallar las asíntotas vertical y horizontal de esta función dada:

$$f(x) = \frac{e^x(x + 1)}{e^{2x}(x^2 - 1)}$$

Para encontrar la asíntota vertical,creo que igualo la línea inferior a cero y cualquiera que sea mi $x$ ¿cuál es la asíntota vertical? Pero no sé cómo resolver $e^{2x}(x^2-1) = 0$ . ¿Va a ser $x = +1,-1$ ? Por lo tanto, las asíntotas verticales son $1$ y $-1$ .

Para encontrar las asíntotas horizontales, creo que debería encontrar el límite como $x \to \infty$ y $x \to -\infty$ . No sé cómo hacerlo.

¿Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

Basta con calcular el valor de $y$ en $x\to-\infty \;\text{and} \; x \to\infty$ $$\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x(x+1)}{e^{2x}(x^2-1)}=-\infty$$ $$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x(x+1)}{e^{2x}(x^2-1)}=0$$

Como límite existe para $x\to\infty$ , $$y=0$$ es la asíntota horizontal.

Para la asíntota vertical, hay que encontrar los valores de $x$ para lo cual $y\to\infty$ .

$$y=f(x)=\frac{e^x(x+1)}{e^{2x}(x^2-1)}$$

Como denominador pasa a $0$ para $x=\pm1$ comprobaremos el límite de $y$ a estos valores.

$$\lim_{x\to-1}\frac{e^x(x+1)}{e^{2x}(x^2-1)}=-\frac{e}{2}$$ $$\lim_{x\to1}\frac{e^x(x+1)}{e^{2x}(x^2-1)}=\infty$$

Desde $y \to\infty$ para $x=1$ , $$x=1$$ es la asíntota vertical.

$x=-1$ no es la asíntota vertical como límite de $y$ se define en este valor.