En la respuesta de condiciones generales para la desigualdad de poincare inversa por @user2070206, el autor utilizó el hecho de que para una función $f \in H^1_0(\Omega)$ donde $\Omega$ es un dominio Lipschitz abundado, se cumple que $$ \| f \|_{L^2(\Omega)} = \| f \|_{H^{-1}(\Omega)}. $$ No he encontrado ninguna prueba ni ninguna referencia que demuestre esta afirmación. ¿Es cierta? Si es así, ¿cómo se puede demostrar?
Lo que he intentado hasta ahora es que puedo demostrar que $\| f\|_{H^{-1}} \le \|f\|_{L^2}$ . La otra desigualdad ya no es tan fácil. Tengo $$ \|f\|_{H^{-1}} \le \sup_{v \in H^1_0, \|v\|_{H^1} = 1} (f, v)_{L^2}. $$ Intenté encontrar un $v$ tal que $\|v\|_{H^1}$ = 1 y $(f, v)_{L^2} = \|f\|_{L^2}$ pero no pude encontrar ninguno.
