"Consiste esencialmente en esquinas" es demasiado vago, sobre todo teniendo en cuenta lo peliagudos que pueden ser los conjuntos de perímetro finito, pero tu intuición es correcta en el siguiente sentido: el conjunto de puntos del tipo (4) tiene cero $(n-1)$ -medida dimensional . Esto lo hace insignificante no sólo como subconjunto de $\mathbb{R}^n$ sino también como un subconjunto de la frontera de nuestro conjunto.
Para un conjunto $E\subset \mathbb{R}^n$ introduzca la siguiente notación:
- $E^{(s)}$ es el conjunto de todos los puntos de $\mathbb{R}^n$ donde $E$ tiene una densidad de Lebesgue igual a $s$ ;
- $\partial^*E$ es el límite reducido de $E$ es decir, el conjunto en el que se puede definir un vector normal en sentido teórico de la medida.
- $\partial^c E$ es el límite esencial de $E$ definido como $\mathbb{R}^n\setminus (E^{(0)}\cup E^{(1)})$ .
En su notación, $\partial^c E$ es la unión de los conjuntos (3) y (4), y el punto principal es que (4) es mucho más pequeño que (3). En concreto, $$ \partial^*E \subset E^{(1/2)} \subset \partial^c E $$ y $$ \mathcal H^{n-1}(\partial^c E \setminus \partial^*E) = 0 $$ Fuente: Teorema 16.2 en Conjuntos de perímetro finito y problemas variacionales geométricos de Francesco Maggi, página 184. El teorema se debe a Federer. Su mensaje es que $\partial^*E$ , $E^{(1/2)}$ y $\partial^c E$ hacen más o menos el mismo trabajo en cuanto a definir dónde está el límite de $E$ es.
Como ejemplo de un punto que no parece realmente una "esquina", tomemos $E$ como la unión de bolas disjuntas $B(a_k, r_k)$ donde $a_k\to 0$ y $r_k\to 0$ en condiciones que $$\sum r_k^{n-1} < \infty,\qquad \lim_{R\to 0}\frac{1}{R^n}\sum_{r_k < R} r_k^{n} \to c \in (0,1)$$ Entonces $0$ probablemente sea del tipo (4), pero no parece una esquina.
