Es $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$ ¿cero o indefinido?

Question

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$$ ¿Es esta expresión matemática cero o indefinida? Creo que parece cero pero no puedo explicar la razón matemáticamente. Además, $\infty - \infty$ no está definido.

Answer 1

No está definido. La secuencia de sumas parciales es $-1, 0, -1, 0...$ que, aunque acotada, no converge.

Answer 2

Por regla general, si $\sum a_n$ converge, debe darse el caso de que $a_n \to 0$ . En el caso de esta serie, $(-1)^n=-1,0,-1,0$ no converge a cualquier cosa por lo que ciertamente no tiende a $0$ por lo que se puede deducir que la serie es divergente.

Para su último comentario, referido a $\infty-\infty$ me sugiere que estás haciendo lo siguiente: $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n}-\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n+1} ``=" \infty-\infty.$$

Sin embargo, sólo se pueden reordenar infinitos términos en una serie (suponiendo que se quiera un resultado sensato) si la serie es absolutamente convergente, lo que $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ no lo es, ya que $$\sum_{n=1}^{\infty} |-1^n|=\sum_{n=1}^{n} 1^n=1+1+1+...$$