Si un número está en el denominador de una expresión racional que a su vez es el denominador de otra expresión racional, de tal manera que el número hace que el denominador de esta última sea indefinido, entonces ¿no es toda la expresión indefinida? Por ejemplo, ¿no es $$\frac{\frac{x^2-3x-4}{-3x-15}}{\frac{x^2-16}{x^2-x-30}}=\frac{\frac{(x-4)(x+1)}{-3(x+5)}}{\frac{(x+4)(x-4)}{(x-6)(x+5)}}$$ indefinido en $x=6\;?$ $$\frac{\frac{x^2-3x-4}{-3x-15}}{\frac{x^2-16}{x^2-x-30}} \implies\quad\frac{(x-4)(x+1)(x-6)(x+5)}{-3(x+5)(x+4)(x-4)},x\neq{-5},{-4},4,6\quad?$$ Si es así, ¿por qué mi calculadora científica y Desmos calculan la expresión como cero en $x=6\;?$
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$$\frac{\quad\frac{x^2-3x-4}{-3x-15}\quad}{\frac{x^2-16}{x^2-x-30}} \implies\quad\frac{(x-4)(x+1)(x-6)(x+5)}{-3(x+5)(x+4)(x-4)},x\neq{-5},{-4},4,6\quad?$$
Más bien: $$f(x)=\frac{\quad\frac{x^2-3x-4}{-3x-15}\quad}{\frac{x^2-16}{x^2-x-30}}\iff\bigg(\color\red{x\neq-5,4,6}\quad\text{and}\quad f(x)=\frac{(x+1)(x-6)}{-3(x+4)} \bigg).$$
no es $$\frac{\quad\frac{x^2-3x-4}{-3x-15}\quad}{\frac{x^2-16}{x^2-x-30}}$$ indefinido en $x=6\;?$
En efecto, esta expresión no está definida en $x=6;$ Wolfram también está de acuerdo .
¿por qué mi calculadora científica y Desmos calculan la expresión como cero en $x=6\;?$
Lo más probable, Desmos sólo determina el dominio de una función gráfica después de deshacerse de cualquier fracción compuesta (de varios pisos) : $$\frac{\quad\frac{x^2-3x-4}{-3x-15}\quad}{\frac{x^2-16}{x^2-x-30}}$$ contiene cuatro condiciones implícitas $(\color\red{x\ne{-}5,{-}4,4,6}),$ mientras que $$\frac{(x-4)(x+1)(x-6)(x+5)}{-3(x+5)(x+4)(x-4)}$$ sólo contiene tres condiciones implícitas $(\color\red{x\ne{-}5,{-}4,4}).$
Por ello, Desmos es selectivamente notando las condiciones implícitas de la fracción compuesta, confundiendo $f(6)$ como $0$ incluso mientras no piensan igualmente que $f(-5)= \frac{44}3$ o que $f(4)=\frac5{12}.$
T_M
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Saber si una "expresión" es "indefinida" o no no es una cuestión rigurosa y directa. Eso es básicamente lo que estás averiguando. Por ejemplo, ¿qué te parece $$\frac{x^2}{x}?$$ ¿Es esto 'indefinido' en $x=0$ ? O para ponerlo en línea con su ejemplo, hago uno aún más tonto, por ejemplo, ¿Qué tal $$\frac{1}{\tfrac{1}{x}}\ ?$$ Las "expresiones" son ambiguas en el sentido de que no son lo mismo que las "funciones". Esta última es la noción más adulta, una vez que empiezas a tener claro qué función estás considerando y cuál es su dominio, las cosas se vuelven más claras (y puedes hablar, por ejemplo, de cosas como "singularidades extraíbles", etc., etc.).
Realmente quiero decir si te refieres a la función $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ dada por $x \mapsto x$ o quieres decir $g : \mathbf{R}\setminus \{0\} \to \mathbf{R}$ dada por $x \mapsto 1/(1/x)$ . Por supuesto ahora ves que $f = g$ en $\mathbf{R}\setminus \{0\}$ y que $g$ puede extenderse a una función continua sobre el conjunto de $\mathbf{R}$ pero ponerlo así sólo disipa cualquier cosa interesante o ambigua.
Las calculadoras/software de gráficos lo calculan así probablemente porque hacen algo como simplificarlo algebraicamente antes de evaluarlo.
