El índice del subgrupo es 2 entonces para cualquier $g$ , $g^2$ pertenece al subgrupo

Question

Si el índice de un subgrupo $H$ es 2, entonces $g^2 \in H$ para cada $g$ en G.

Prueba: Como el índice es 2, sólo hay dos cosets distintos. Ahora bien, si $g \in H$ entonces se cumple trivialmente porque $H$ es un subgrupo. Sea $H$ y $gH$ sean cosets donde $g \notin H$ por lo tanto dado cualquier otro coset que sea de esta última forma entonces es igual a $gH$ . Por lo tanto,

$gH$ = $g^{-1}H$

$g^2H=H$ $\implies g^2 \in H$

$\blacksquare$

Answer 1

Normalmente se demuestra que si $|G:H|=2$ entonces $H$ es normal en $G$ . Esto se deduce directamente ya que para $g\in G$ y $g\notin H$ tenemos $G = H \cup gH = H \cup Hg$ lo que implica $gH = Hg$ .

Por lo tanto $G/H \cong \mathbb{Z}_2$ ya que sólo hay un grupo de orden 2. Por lo tanto $g^2H = H$ para cualquier $g$ lo que implica $g^2 \in H$ .