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El índice del subgrupo es 2 entonces para cualquier g , g2 pertenece al subgrupo

Si el índice de un subgrupo H es 2, entonces g2H para cada g en G.

Prueba: Como el índice es 2, sólo hay dos cosets distintos. Ahora bien, si gH entonces se cumple trivialmente porque H es un subgrupo. Sea H y gH sean cosets donde gH por lo tanto dado cualquier otro coset que sea de esta última forma entonces es igual a gH . Por lo tanto,

gH = g1H

g2H=H g2H

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JJR Puntos 301

Normalmente se demuestra que si |G:H|=2 entonces H es normal en G . Esto se deduce directamente ya que para gG y gH tenemos G=HgH=HHg lo que implica gH=Hg .

Por lo tanto G/HZ2 ya que sólo hay un grupo de orden 2. Por lo tanto g2H=H para cualquier g lo que implica g2H .

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