¿Puede un número ser palíndromo en 4 bases numéricas consecutivas?

Question

Editar $(2020)$ : La actualización se incluye al final del post.

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$4$ ¿bases consecutivas?

¿Hay números que sean un palíndromo en $4$ ¿bases numéricas consecutivas?

No cuento un palíndromo de un dígito como palíndromo. (Descartando soluciones triviales).

Después de probar algunas de mis tramas de números palindrómicos y sistemas numéricos, me di cuenta de que no podía encontrar ningún número que sea un palíndromo en más de $3$ bases consecutivas. Tenía curiosidad por saber por qué es así.

Ejecuté un código simple para comprobar los números hasta $10^{7}$ (y todas las bases relevantes), y no encontró ningún número que sea un palíndromo en $4$ o más bases consecutivas. Como referencia, aquí están los números más pequeños que son palindrómicos en $1,2,3$ bases consecutivas:

$$3 = 11_2$$ $$10 = 101_3=22_4$$ $$178 = 454_6 =343_7 = 262_8$$

Por ejemplo, $3=1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0=11_2$ es un palíndromo binario.

Tengo la firme sospecha de que no existe una solución para cuatro bases consecutivas, pero no sé cómo demostrar esta observación. Para comparar, hay infinitos números que son palindrómicos en $3$ bases numéricas consecutivas.

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Casi $4$ bases consecutivas

Examinemos los números que son "casi palindrómico en cuatro bases consecutivas" . Es decir, los números palindrómicos en bases $b$ y $b+3$ y en $b+1$ o $b+2$ base numérica.

Comprobando por separado algunos $d$ palíndromos de dígitos hasta cierta base numérica $b$ que encontré:

( $b\le6000$ ) Para $2$ dígitos, no hay ejemplos.

( $b\le900$ ) Para $3$ dígitos, hay $1484$ ejemplos .

( $b\le800$ ) Para $4$ dígitos, sólo hay un ejemplo en $b=10$ .

( $b\le150$ ) Para $5$ dígitos, sólo dos ejemplos en $b=16$ y en $b=17$

( $b\le100$ ) Para $6$ dígitos, no hay ejemplos.

Y etc.

Obsérvese que, aparte de las tres excepciones, todos los demás palíndromos (ejemplos) de este tipo tienen exactamente $3$ dígitos en sus bases palindrómicas.

Si podemos demostrar esta observación, entonces nuestra solución debería tener exactamente $3$ dígitos en sus bases palindrómicas. De hecho, esto resolvería el problema, porque $3$ números de dígitos no pueden ser palindrómicos en más de $3$ bases numéricas consecutivas.

Eso es,

Los dos números de tres cifras más pequeños que son un palíndromo en tres consecutivos son: $$178 = 454_6 =343_7 = 262_8$$ $$300 = 606_7 = 454_8 = 363_9$$

Todos los demás palíndromos de tres cifras que son palindrómicos en tres bases numéricas consecutivas vienen dados por (También mencionado en el OEIS secuencia) la siguiente expresión utilizando $n\ge7$ y es impar :

$$\frac{1}{2}(n^3 + 6n^2 + 14n + 11)$$

Cada término dado por esto es palindrómico en bases $n+1, n+2, n+3$ y es $3$ dígitos de longitud.

$373$ es el primer número dado por esta ecuación, y es palindrómico en bases $8,9,10$ .

Este patrón de tres dígitos nunca se extenderá a una cuarta base consecutiva, ya que TMM dijo en los comentarios; que Ross Millikan publicado más tarde en su respuesta parcial.

Queda por demostrar la observación de que los "palíndromos de casi 4 bases consecutivas" no pueden tener más de $3$ dígitos si son suficientemente grandes.

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Este artículo también se publicó en Desbordamiento matemático con patrones para $5$ y $7$ dígitos también se presentó allí; pero hasta ahora no ha surgido nada nuevo.

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Actualización

Gracias a Método de Max Alekseyev sabemos que si un palíndromo en $4$ existen bases numéricas consecutivas, entonces

• Tiene el mismo número de cifras en todas las bases numéricas correspondientes y también tiene $15$ o más dígitos en esas bases numéricas (véase esta respuesta y la secuencia OEIS correspondiente A323742 ).

• No tiene el mismo número de dígitos en las bases correspondientes y es mayor que $10^{12}$ (es decir, es un término de la secuencia OEIS A327810 .)

¿Podemos descartar al menos uno de estos dos casos?

Answer 1

Sólo una respuesta parcial:

Para demostrar el patrón de tres dígitos, me resulta más fácil escribirlo en términos de $b$ la base más baja, que tiene que ser par y al menos $6$ . Entonces tenemos $$(\frac b2+1)b^2+(\frac b2+2)b+(\frac b2+1)\\= (\frac b2)(b+1)^2+(\frac b2+1)(b+1)+(\frac b2)\\= (\frac b2-1)(b+2)^2+(\frac b2+3)(b+2)+(\frac b2-1)\\= \frac{b^3}2+\frac {3b^2}2+\frac {5b}2+1$$ donde las tres primeras líneas explicitan el palíndromo en las tres bases. Creo que encontrar este patrón es bastante fácil. Si uno hiciera una búsqueda informática hasta $1000$ uno encontraría los cuatro primeros números y el patrón es claro. El álgebra para verificarlo tampoco es difícil. Podemos demostrar que este patrón nunca se extenderá a una cuarta base. Si probamos la base $b-1$ podemos dividir el número por $(b-1)^2+1$ para encontrar el primer y tercer dígito. Encontramos que es $\frac b2+2$ como cabría esperar. El dígito central quiere ser $\frac b2+6$ pero el total es demasiado alto por $3$ . Del mismo modo, si probamos la base $b+3$ encontramos que el primer y último dígito son $\frac b2-2$ la cifra central más próxima es $\frac b2+8$ pero somos $3$ demasiado alto otra vez. Estos patrones sólo se establecen $b=16$ para la base $b-1$ y $b=12$ para $b+3$ pero podemos comprobar fácilmente los números más pequeños. Esto no prueba que no existan otros ejemplos para cuatro bases sucesivas. Creo que se podría hacer un análisis similar para el patrón de cinco dígitos, pero no lo he hecho.