Verificación de pruebas: La composición de mapas es asociativa

Question

Teorema. Sea $f: W \rightarrow X, g : X \rightarrow Y, h: Y \rightarrow Z$ ser mapas. Entonces

(1) $h \circ ( g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ es decir, la composición de mapas es asociativa.

La prueba se deja como ejercicio.

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Mi intento:

Prueba: Por definición de la composición de mapas

$h \circ ( g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

$h \circ (W \rightarrow Y) = (X \rightarrow Z) \circ f $

$W \rightarrow Y \rightarrow Z = W \rightarrow X \rightarrow Z$

$W \rightarrow Z = W \rightarrow Z$

$\blacksquare$

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Me gustaría saber, si tanto la prueba como la forma de escribirla son correctas. O, si hay una manera más elegante de escribir la prueba (si es correcta).

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Liesen, J., Mehrmann, V. 2015. Álgebra lineal. Berlín, Alemania: Springer.

Answer 1

Para demostrar la igualdad $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ tenemos que demostrar que $(h\circ (g\circ f))(w)=((h\circ g)\circ f)(w)$ para cada $w\in W$ .

Deberías intentarlo por tu cuenta, pero a continuación te mostramos el argumento para comprobar tu solución.

Fijar $w\in W$ . Por la definición de composición de funciones, tenemos $$(h\circ(g\circ f))(w)=h((g\circ f)(w))=h(g(f(w)))$$ y por otro lado $$((h\circ g)\circ f)(w)=(h\circ g)(f(w))=h(g(f(w)))$$ así que hemos terminado.