¿Exigen los observables cuánticos representaciones tanto de Heisenberg como de Schrodinger?

Question

Consideraré una observable $\mathcal{O}\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ y, para simplificar, permítanme suponer $\mathscr{H}$ es de dimensión finita. Ahora, para algún hamiltoniano independiente del tiempo $\mathcal{H}$ Puedo evolucionar $\mathcal{O}\to\mathcal{O}(t)=U_t^\dagger\mathcal{O}U_t$ donde $U_t=e^{-it \mathcal{H}}$ . A continuación, defino $\delta\mathcal{O}(t)=\mathcal{O}(t)-\mathcal{O}$ que es hermitiana para $\mathcal{O}$ es hermitiana. Suena raro llamar observable a este objeto; no veo cómo representarlo en un marco independiente del tiempo, es decir, que yo sepa esto sólo se puede definir en la imagen de Heisenberg.

En este caso simple, de dimensión finita, ¿exigen los observables cuánticos legítimos una representación tanto en la imagen de Heisenberg como en la de Schrodinger? En concreto, ¿es $\delta\mathcal{O}(t)$ un observable y, si no, ¿cuál es el truco?

Desde una perspectiva más operativa, también me parece que adquirir los resultados de dicho operador exigiría mediciones no locales en el tiempo. Por tanto, una pregunta relacionada: es $\delta \mathcal{O}(t)$ ¿Mensurable? Conozco casos en los que se puede asignar un protocolo de medición de dos puntos para obtener tales resultados, pero me interesa el caso general en el que no tengo que suponer nada sobre el estado del sistema.

Answer 1

En sentido estricto, este operador $\delta\mathcal{O}$ está mal definida porque estás tomando la diferencia de operadores definidos en espacios de Hilbert diferentes (pero isomorfos).

Este punto no suele enfatizarse, pero si fuéramos cuidadosos, la restricción de la mecánica cuántica es asignar un espacio de Hilbert a cada valor de tiempo (trozos de tiempo constante si estás haciendo teoría de campos). El operador de evolución temporal, así entendido, puede interpretarse como el mapa lineal desde el espacio de Hilbert en un tiempo al espacio de Hilbert en un tiempo diferente. Puesto que el operador de evolución es invertible, todos estos espacios de Hilbert son isomorfos, y de ahí que se suela olvidar la distinción, pero ésta es también la razón por la que las relaciones de conmutación canónicas son siempre entre operadores en el mismo tiempo.

Así, el operador $\delta\mathcal{O}$ se está construyendo a partir de operadores definidos como actuando en diferentes espacios de Hilbert y, por tanto, está mal definido como operador. La laguna, sin embargo, es que su valor de expectativa sigue estando bien definido por ser la diferencia de los valores de expectativa.