Muchos de ustedes los reconocerán como los Diagramas ADE con colores festivos para las fiestas.
¿Alguien conoce una interpretación matemática para estos diagramas, cuando se colorean así?
Edita: las respuestas siguientes parecen tratar el conjunto de nodos rojos y el conjunto de nodos verdes como esencialmente equivalentes. Sin embargo, en la combinatoria que me interesa, los rojos y los verdes desempeñan papeles ligeramente distintos; ¿ocurre lo mismo en la historia del grupo de Coxeter?
En los grupos Coxeter/Weyl asociados existe una interpretación de este tipo. Recordemos que un elemento Coxeter es el producto de los generadores ( $=$ nodos) en un orden determinado.
Ahora los generadores rojos conmutan entre sí, sea $L$ sea su producto; del mismo modo $R$ sea el producto de los generadores verdes. Entonces el producto $LR$ es un elemento Coxeter especial llamado, como era de esperar, a elemento Coxeter bipartito . Obsérvese que es esencialmente único ya que $RL=(LR)^{-1}$ .
Estos elementos Coxeter especiales han ocupado un lugar destacado en los últimos años en la teoría de las particiones no cruzadas en grupos Coxeter generales, cf. la memorias de Drew Armstrong para un buen estudio, con un enfoque combinatorio; véanse también los artículos de Brady & Watt para un enfoque más geométrico.
Ingenuamente, no puede haber ninguna manera razonable de distinguir los nodos rojos de los verdes en el caso $A_{even}$ como el automorfismo del diagrama de Dynkin los cambia.
De forma menos ingenua, existe efectivamente una forma de distinguirlos en todos los demás casos: la afín El diagrama de Dynkin también es bipartito, y el vértice afín puede tomarse como un color fijo. (Desgraciadamente en su $D_n$ ejemplo sería rojo, mientras que en su $E_6$ ejemplo sería verde, así que si te decantas por esas opciones no puedo ayudarte).
Como han dicho otros, puedes multiplicar los rojos por los verdes y obtener un elemento Coxeter. Si lo elevas a la mitad de su orden, obtienes el elemento largo $w_0$ . Por supuesto, sólo se puede hacer esto si el número de Coxeter es par, que es de nuevo todos los casos excepto $A_{even}$ .
A través de la correspondencia McKay, los nodos corresponden a representaciones de $G$ un subgrupo finito de $SU(2)$ . Si coloreamos los nodos en dos grupos dependiendo de si la representación se aleja o no de una representación de $\hat{G}\subset SO(3)$ la imagen de $G$ bajo el mapa de doble cobertura $SU(2)\to SO(3)$ obtenemos el patrón de coloración que ves. Tienes que cambiar el rojo por el verde en un par de tus diagramas si quieres (por ejemplo) que los verdes sean siempre los que no retroceden de $SO(3)$ (nodos "binarios"). Véase aquí la Figura 1:
Son grafos bipartitos. Alguna aplicación está en el libro
Goodman, l'Harpe, Jones - "Grafos de Coxeter y torres de álgebras"
donde describen cómo estos gráficos corresponden a Matrices sobre $\mathbb{Z}$ con norma menor que 1.
Véase el teorema 1.1.2, según el cual existe una correspondencia 1-1 entre
1) Matrices indescomponibles con entradas $\lbrace 0, 1\rbrace$ hasta pseudo equivalencia
2) Grafos de Coxeter irreductibles con bicoloración de tipo A,D,E
Los gráficos corresponden a diagramas de Bratelli de inclusiones de álgebras de von Neumann finitas. A partir de ellos se pueden construir subfactores con índice $4 \cos^2(\pi/n)$ $n=2,3,\ldots$ el índice es exactamente el cuadrado de la matriz asociada. Estos son todos los valores posibles $<4$ del índice. Véase también
Jones Sunders - "Introducción a los subfactores" (por ejemplo, capítulo 3.3)
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