¿Qué transformaciones de Möbius envían 0, 1 e infinito a 0, 1 e infinito?

Question

Posible duplicado:
¿Cómo puedo averiguar la simetría de una función?

Sea $f:\mathbf{P}^1 \longrightarrow \mathbf{P}^1$ sea una transformación de Möbius $z\mapsto (az+b)/(cz+d)$ enviando $\{0,1,\infty\}$ a $\{0,1,\infty\}$ con $ad-bc = 1$ .

Sospecho que sólo hay un número finito de tales transformaciones de Möbius. ¿Cuáles son?

Un ejemplo no trivial es $f(z) = 1/(1-z)$ . Envía $0$ a $1$ , $1$ a $\infty$ et $\infty$ a $0$ . Tenga en cuenta que $f(z) = -z+1$ no es un ejemplo, porque $ad-bc = -1$ en este caso.

Answer 1

Si $0\mapsto 0$ entonces $b=0$ . Esto significa que $d=\frac{1}{a}$ .

• Si $f(1)=1$ et $f(\infty)=\infty$ entonces debemos tener $a=c+d$ et $c=0$ Así que $ad=1$ , $a=1$ . Por lo tanto $a=d=\pm 1$ , $b=c=0$ . La única transformación es la identidad.

• Si $f(1)=\infty$ et $f(\infty)=1$ entonces debemos tener $a=c$ et $c+d=0$ ya que $d=\frac{1}{a}= -c = -a$ tenemos $-a^2=1$ Así que $a=c=\pm i$ , $d=\mp i$ .

Si $0\mapsto 1$ entonces $b=d$ Así que $(a-c)d=1$ .

• Si $1\mapsto 0$ et $\infty\mapsto\infty$ entonces $a=-b$ para obtener $1\mapsto 0$ y $c=0$ para obtener $\infty\mapsto \infty$ . Entonces $(a-c)d = -d^2=1$ Así que $b=d=\pm i$ , $a=\mp i$ . ( corregido; disculpas al usuario anónimo que sugirió la edición )
• Si $1\mapsto\infty$ et $\infty\mapsto 0$ entonces debemos tener $a=0$ y $c+d=0$ . Así que $1 = (a-c)d = -cd = d^2$ . Por lo tanto $d=b=\pm 1$ , $c=\mp 1$ , $a=0$ .

Si $0\mapsto\infty$ entonces $d=0$ Así que $bc=-1$ .

• Si $1\mapsto 0$ et $\infty\mapsto 1$ entonces $a=c$ et $a+b=0$ . Así que $-1 = bc = -ac = -c^2$ Por lo tanto $a=c=\pm 1$ , $b=\mp 1$ .
• Si $1\mapsto 1$ et $\infty\mapsto 0$ entonces $a=0$ et $b=c$ . Por lo tanto $-1=bc=b^2$ Así que $b=c=\pm i$ , $a=d=0$ .