Valores singulares en SVD

Question

Recientemente he empezado a leer sobre la SVD. Si la factorización de una matriz $A$ calculamos los vectores propios de $AA^T$ et $A^TA$ y se convierten en los vectores columna de $U$ et $V$ correspondientes. La dirección $\Sigma$ se rellena con raíces cuadradas de los valores propios. Ahora encontramos que los valores propios de $AA^T$ et $A^TA$ son los mismos. También encontramos que los vectores propios obtenidos son ortogonales entre sí.

Pregunta 1:

¿Por qué los valores propios de $AA^T$ et $A^TA$ ¿Igual?

Pregunta 2:

¿Son siempre ortogonales los vectores propios de una matriz? En caso afirmativo, ¿por qué? En caso negativo, ¿por qué son ortogonales en este caso?

PS - Soy nuevo en Lin-Al, así que sería de gran ayuda si las explicaciones son intuitivas.

Answer 1

(1) Sea $A$ , $B$ dos matrices cualesquiera, y $\lambda \ne 0$ un valor propio de $AB$ con vector propio $x$ digamos. Entonces $ABx = \lambda x$ y $Bx \ne 0$ (como $\lambda \ne 0$ ). Tenemos $BA(Bx) = B(ABx) = \lambda Bx$ Así que $Bx$ es un vector propio de $BA$ con valor propio $\lambda$ es decir, si denotamos por $\sigma(AB)$ el conjunto de valores propios de $AB$ : $$\sigma(AB) -\{0\} \subseteq \sigma(BA)$$ y por simetría de nuestro argumento $$\sigma(AB) - \{0\} = \sigma(BA) - \{0\}$$ Tenga en cuenta que para $0$ esto no tiene por qué ser así: Para $A = B^t = (0 \, 1)$ tenemos $AB = 1$ Así que $AB$ no tiene $0$ como valor propio, pero $BA = \binom{0\,0}{0\, 1}$ tiene. Así que en su caso, los valores propios no nulos de $AA^t$ et $A^t A$ son los mismos.

(2) No, los vectores propios de matrices generales no tienen por qué ser ortogonales, pero los vectores propios de diferentes valores propios de real , simétrico matrices deben. Así pues $B = B^t$ sea una matriz real simétrica, $Bx = \lambda x$ , $By = \mu y$ con $\lambda, \mu \in \mathbb R$ valores propios y $x,y \ne 0$ vectores propios de $B$ . Entonces tenemos $$\begin{align*} \def\sp#1{\left<#1\right>}\lambda\sp{x,y} &= \sp{\lambda x,y} \\ &= \sp{Bx,y}\\ &= \sp{x,B^ty}\\ &= \sp{x,By}\\ &= \mu\sp{x,y}\\ \iff (\lambda-\mu)\sp{x,y} &= 0 \end{align*}$$ En $\lambda \ne \mu$ tenemos $\sp{x,y} = 0$ .