¿Cómo puedo resolver esta versión de la paradoja de los gemelos en relatividad especial?

Question

Tengo una versión de la paradoja de los gemelos que me tiene completamente perplejo. Hay una pregunta similar en el foro, pero esta versión en particular no tiene respuesta. Espero que alguien mucho mejor que yo en física sea capaz de resolverla.

Imaginemos dos gemelos (Max y Tony) que al nacer son acelerados en dos direcciones opuestas por igual (exactamente a la misma velocidad de aceleración) durante mucho tiempo, y luego son desacelerados (exactamente a la misma velocidad) hasta que están en reposo uno respecto del otro muy, muy separados. Como ambos se han acelerado lo mismo, ahora tienen la misma edad (digamos 20 años) en el mismo sistema de referencia inercial.

A continuación, aceleran el uno hacia el otro hasta que su velocidad relativa es de 0,99c, momento en el que dejan de acelerar y ambos se desplazan a velocidad constante en un sistema de referencia inercial (no acelerado) (ahora se aplica la relatividad especial).

A 0,99c, digamos que se cruzan al cabo de, digamos, 30 años (o podemos simplemente estipular un número de años x). El factor de dilatación del tiempo para .99c es aproximadamente 1/7, así que, cuando pasen, Max verá a Tony a la edad de 20+(30/7) = 24,3 años, y Max se verá a sí mismo (Max) a la edad de 20+30 = 50 años.

Sin embargo, por la simetría de la relatividad especial, lo mismo ocurre con Tony: cuando pasen, cada gemelo verá al otro como 50 - 24,3 o unos 26 años más joven (o simplemente (6/7x) años más joven, donde x es el número de años recorridos a 0,99c).

Por último, supongamos que ambos aceleran (decelerando, acelerando y decelerando por igual y de forma opuesta) en el mismo sistema de referencia y llegan juntos al reposo. Dado que aceleran por igual, deberían envejecer por igual (digamos en y años) el uno del otro. Todas las demás aceleraciones a lo largo de sus vidas han sido iguales, por lo que no deberían haberse producido diferencias de envejecimiento en ningún momento, salvo cuando viajan a una velocidad constante de 0,99c (cuando se aplica la relatividad especial). Sin embargo, esto significa que ambos gemelos tienen ahora 24,3+y y 50+y años al mismo tiempo por la simetría de la relatividad especial. ¿Cómo es posible?

Estoy seguro de que esto tiene una explicación muy sencilla, pero no tengo ni idea de cómo resolverlo. Yo esperaría que ambos gemelos tuvieran exactamente la misma edad, pero ¿cómo se evita el hecho de que, según la relatividad especial, cada gemelo puede afirmar legítimamente que el otro es más joven?

Answer 1

dejan de acelerar y ambos se desplazan a velocidad constante en un sistema de referencia inercial (no acelerador) (ahora se aplica la relatividad especial).

La relatividad especial se aplica a todo el problema, incluidas las partes aceleradoras, ya que no hay gravedad.

Max verá a Tony a los 20+(30/7) = 24,3 años, y Max se verá a sí mismo (Max) a los 20+30 = 50 años.

Eso es incorrecto. Por simetría tienen la misma edad cuando se conocen, y se verán como si tuvieran la misma edad.

Nótese que cuando Max está en su punto más alejado de la Tierra a los 20 años, no ve a Tony a los 20 años. Ve a un Tony bebé poco después de que Tony abandone la Tierra, porque la luz de la mayor parte del viaje de Tony aún no ha tenido tiempo de llegar hasta él. Mientras Max viaja de regreso a la Tierra, ve a Tony envejecer hasta los 20 años, acelerar hacia él, y luego muy rápidamente edad a 50 años. El factor de desplazamiento azul para esta última parte es $(1+.99)/(1-.99) = 199$ así que Tony parece envejecer 30 años en unos 2 meses. Eso significa que parece envejecer desde la infancia hasta los 20 años en unos 29 años y 10 meses.

Cuando Max está en su punto más alejado de la Tierra a los 20 años, si dibujas un plano espaciotemporal perpendicular a su línea del mundo y tomas la intersección de ese plano con la línea del mundo de Tony, la intersección estará en el punto simétrico donde Tony tiene 20 años. Aunque a la gente le gusta mucho dibujar los llamados "planos de simultaneidad", es importante comprender que no tienen ningún significado físico y que no ayudan a entender la naturaleza de la relatividad especial. Salvo en casos sencillos, ni siquiera son útiles para hacer cálculos. No obstante, si realmente lo deseas, puedes analizar este problema utilizando los planos de simultaneidad de Max. En este caso, la resolución de la paradoja es que cuando Max acelera de vuelta hacia la Tierra (una aceleración es una rotación en el espaciotiempo), el plano de simultaneidad también gira, barriendo una gran parte de la línea del mundo de Tony (aproximadamente 26 años del tiempo propio de Tony) "durante" la aceleración. Una vez que Max viaja a su velocidad constante de $.99c$ el avión se mueve a lo largo de la línea del mundo de Tony $1/\sqrt{1-.99^2}\approx 7$ veces más lento que el tiempo propio de Max, por lo que Tony envejece aproximadamente otro $30/7$ años "durante" el viaje de vuelta de Max en este sentido no físico de "durante". En total Tony envejece exactamente 30 años "durante" la aceleracion y el viaje de vuelta de Max.

Todo lo dicho en los dos últimos párrafos también es cierto si se intercambian los nombres de Max y Tony.