La convergencia en la medida implica la convergencia en casi todas partes de una subsecuencia

Question

¿Cómo puedo demostrar que si una secuencia de funciones $\{f_n\}$ que converge a $f$ en medida sobre un espacio de medida finita, entonces existe una subsecuencia de $\{f_n\}$ que converge a $f$ ¿en casi todas partes?

Answer 1

Sea $(X,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio de medidas y $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $f_n \to f$ en medida, es decir

$$\mu(|f_n-f|>\varepsilon) \stackrel{n \to \infty}{\to} 0$$

para cualquier $\varepsilon >0$ . Configuración $\varepsilon=2^{-k}$ , $k \in \mathbb{N}$ podemos elegir $n_k$ tal que

$$\mu(|f_n-f|> 2^{-k}) \leq 2^{-k}$$

para todos $n \geq n_k$ . Sin pérdida de generalidad, $n_{k+1} \geq n_k$ para todos $k \in \mathbb{N}$ . Establecer

$$A_k := \{x \in X; |f_{n_k}(x)-f(x)| > 2^{-k}\}.$$

En $$\sum_{k \geq 1} \mu(A_k) \leq \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} < \infty,$$ el lema de Borel-Cantelli da como resultado

$$\mu \left( \limsup_{k \to \infty} A_k \right) =0.$$

No es difícil ver que esto implica

$$\lim_{k \to \infty} f_{n_k}(x) =f(x)$$

$\mu$ -casi en todas partes.

Answer 2

Podemos mejorar el resultado a convergencia casi uniforme yendo a subsecuencias. Fijemos $e$ , dejemos que $E_{n,k} = {x: |f_n - f| > 1/k}$ entonces $\lim \mu E_{n,k} = 0$ podemos elegir $n_j$ tal que $\mu E_{n_j,k} < e/2^{k+j}$ entonces tenemos $\mu \bigcup_j E_{n_j,k} < e/2^k$ y $\mu \bigcup_{k} \bigcup_j E_{n_j,k} < e$ sea la última unión de conjuntos $T$ y después $T^c$ tenemos convergencia uniforme de $f_n$ . véase el teorema de Egoroff.