¿Tiene una cuadrática necesariamente una raíz en este intervalo?

Question

Si F(x) es la cuadrática $ax^2+bx+c$ con $ac>0$ $b^2-4ac>0$ es cierto que en el intervalo $[-\frac{b}{a},+\frac{b}{a}]$ existe un punto $x$ donde $F(x)=0$ . Me lo han dicho antes, pero no veo que sea necesariamente cierto.

Answer 1

Puedes hacer lo que sugirió J.M., es decir, utilizar la fórmula cuadrática. Primero, está claro que tanto a,c tienen el mismo signo, así que multiplicando por $\,\,-\frac{1}{a}\,\,$ si es necesario podemos suponer que la ecuación es $\,\,x^2+bx+c=0\,\,,\,\,c>0$ .

Usando la forma cuádruple obtenemos que debemos demostrar $$\,\,\displaystyle{-\frac{|b|}{2}\leq\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}}\leq\frac{|b|}{2}\,$$

Por ejemplo, suponiendo que $\,\,b>0\,\,$ : $$(1)\,\,-\frac{b}{2}\leq\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2}\Longleftrightarrow\frac{\sqrt{b^2-4c}}{2}\geq 0$$$$ (2)\,\,\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2}\leq \frac{b}{2}\Longleftrightarrow\frac{\sqrt{b^2-4c}}{2}\leq b\Longleftrightarrow b^2-4c\leq 4b^2$$

Y como estas dos desigualdades son claras, hemos terminado.

Answer 2

Si reescribimos la ecuación cuadrática como $x^2+(b*x)/a +c/a$ entonces tenemos lo siguiente

$x_1+x_2=-b/a$

$x_1*x_2=c/a$

ahora $c/a>0$ siempre, también $b>0$

y $b/a>c/a$ así que tenemos lo siguiente 1.a>0 entonces tenemos $x_1$ y $x_2$ son ambas negativas, por lo que ambas son mayores que $-b/a$

2.a<0 entonces ambos $x_1$ y $x_2$ son positivos, por lo que ambos son menores que $b/a$

Answer 3

$F(\frac{-b}{a}).F(\frac{b}{a}) = c(\frac{2b^2}{a} + c) = \frac{2b^2c}{a} + c^2 > 8c^2 + c^2 (as\ b^2 > 4ac) = 9c^2 > 0$ (ac>0 significa que c no es 0).

Así F(x) cambia de signo de -b/a a b/a, esto junto con el hecho de que es una función continua significa que debe ser 0 en algún punto del intervalo.

EDIT: Esto en realidad no funciona tal como está, queremos que el producto sea negativo no positivo. Necesitamos usar el producto de F en -b/2a con F en -b/a en su lugar. Aquí está la prueba:

$F(\frac{-b}{a}).F(\frac{-b}{2a}) = c(\frac{-b^2}{4a} + c) < \frac{-4ac.c}{4a}+c^2$ (como $b^2 > 4ac\ $ y también, $\frac{c}{4a} > 0$ como $ac > 0$ ) $=-c^2 + c^2 = 0$ .

Esto demuestra que tenemos una raíz entre -b/a y -b/2a, por lo que también se cumple la condición más laxa de una raíz entre -b/a y b/a.