Sea $\gamma=\partial K_1(0,0)$ sea el círculo de radio $r=1$ y origen $(0,0)$ en $\mathbb R^2$ . Entonces para cualquier $t_0$ tenemos $\gamma'(t_0)\neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}$ . Sea $v=\begin{pmatrix} \gamma_1'(t_0) \\ \gamma_2'(t_0) \end{pmatrix}$ sea el vector tangente a la curva en $\gamma(t_0)$ . Elija $$\gamma:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb R^2,~t\mapsto \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}$$ como ecuación paramétrica del círculo. Se obtiene $$v=\begin{pmatrix}-\sin(t_0) \\ \cos(t_0)\end{pmatrix}$$ para el vector tangente. Así, $$n_1=\begin{pmatrix} \cos(t_0) \\ \sin(t_0) \end{pmatrix},~n_2=\begin{pmatrix} -\cos(t_0) \\ -\sin(t_0) \end{pmatrix}$$ son las dos opciones "obvias" para vectores perpendiculares a $v$ . Para $t_0=0$ obtendríamos $$\gamma(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}~v=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},~n_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},~n_2=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
Ahora bien: si adjuntamos $n_1$ y $n_2$ a $\gamma(0)$ sólo un vector apuntará al círculo (en este caso $n_2$ ) mientras que el otro vector apuntará hacia fuera del círculo. Para un círculo con orientación positiva es fácil conseguir que un vector apunte hacia dentro, ya que la curvatura no cambia. Lo mismo ocurre para una circunferencia con orientación negativa. ¿Pero es posible elegir este vector para una curva de Jordan arbitraria? Dicho de otro modo:
Sea $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb R^2$ sea una curva de Jordan suave, es decir $\gamma$ es una curva cerrada simple diferenciable con $\gamma'(t)\neq (0,0)$ . Sea $$v=\begin{pmatrix} \gamma_1'(t_0) \\ \gamma_2'(t_0)\end{pmatrix}$$ sea el vector tangente a la curva en $\gamma_(t_0)$ y $$n_1=\begin{pmatrix} \gamma_2'(t_0) \\ -\gamma_1'(t_0)\end{pmatrix},~n_2=\begin{pmatrix} -\gamma_2'(t_0) \\ \gamma_1'(t_0)\end{pmatrix}$$ sean vectores perpendiculares a $v$ . ¿Es posible determinar qué vector $\varepsilon \cdot n_1$ o $\varepsilon \cdot n_2$ estará completamente en el interior de $\gamma$ si lo adjuntamos a $\gamma(t_0)$ ?
( $\varepsilon>0$ se utiliza para encoger el vector si es necesario para que no salga "por otro lado")
