Demostrar que $\frac 1 {x+y}+\frac 1 {y+z}+\frac 1 {z+x}\geq \frac 5 2$ .

Question

Dada:

1. $x,y,z\geq0$

2. $xy+yz+zx=1$

Demostrar que $\displaystyle \frac 1 {x+y}+\frac 1 {y+z}+\frac 1 {z+x}\geq \frac 5 2$ .

He intentado usar la desigualdad de Cauchy LHS $\geq\frac 9 {2a+2b+2c}$ pero fracasó. Por favor, denme algunas ideas. Gracias.

Answer 1

Bueno, creo que se puede utilizar la famosa desigualdad de Irán 96 como resultado para resolver este problema. la desigualdad Irán 96

Sea $x,y,z\geq 0$ tenemos

$$ \frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)} $$ elevando al cuadrado ambos lados, podemos reescribir la desigualdad en $$ \sum_{cyc}{\frac{1}{(x+y)^{2}}}+2\sum_{cyc}{\frac{1}{(x+y)(x+z)}}\geq \frac{25}{4}$$ Ahora, usando esta desigualdad como un resultado conocido, es suficiente para demostrar $$ \sum_{cyc}{\frac{1}{(x+y)(x+z)}}\geq 2 $$ después de simple homogénea, es $$ (xy+yz+xz)(x+y+z)\geq (x+y)(y+z)(z+x) $$ O $$ xyz\geq 0 $$ Lo cual es obviamente cierto,La igualdad se produce si y sólo si $x=y=1, z=0 $ o su permutación. La prueba es completa

Answer 2

Sea $x+y+z=3u$ , $xy+xz+yz=3v^2$ et $xyz=w^3$ . Por lo tanto, la condición no depende de $w^3$ y tenemos que demostrar que $$\frac{\sum\limits_{cyc}(x^2+3xy)}{\prod\limits_{cyc}(x+y)}\geq\frac{5}{2}$$ o $$\frac{9u^2+3v^2}{9uv^2-w^3}\geq\frac{5}{2}$$ o $f(w^3)\geq0$ donde $f$ es una función creciente.

Así pues, basta con demostrar nuestra desigualdad para un valor mínimo de $w^3$ , lo que ocurre en los siguientes casos.

1. $y=x$ , $z=\frac{1-x^2}{2x}$ donde $0<x\leq1$ y obtenemos algo obvio;

2. $w^3=0$ .

Sea $z=0$ . Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x+y}\geq\frac{5}{2}$$ o $$x+y+\frac{1}{x+y}\geq\frac{5}{2}$$ o $$(x+y-2)(2(x+y)-1)\geq0,$$ lo cual es cierto porque $x+y\geq2\sqrt{xy}=2$ ¡y ya está!

Answer 3

Asuma $z$ es el más pequeño. si fijamos la suma $x+y$ ,

$\dfrac{1}{x+y} + \dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y} = \dfrac{1}{x+y} +\dfrac{x+y+2z}{1+z^2}$ en función de $z$ Puede diferenciarlo o sólo plugin. $z=0$ y comparar]

Así $z=0$ será el más pequeño.

El resto es fácil.

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Actualización:

Después de $z=0$ la restricción de $x,y,z$ resulta ser $xy=1$ y el objetivo es minimizar

$\dfrac{1}{x+y}+x+y$

Desde ahora $x=\dfrac{1}{y}$ Así pues

$\dfrac{1}{x+y} +x+y = \dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x}}+x+\dfrac{1}{x}$ . Toma $t = x+\dfrac{1}{x}$ sabemos que $t\ge 2$ . entonces la función objetivo es minimizar

$$t+\dfrac{1}{t}$$

para $t\ge 2$ .

Puede tomar un derivado para ver que $t+1/t$ aumenta cuando $t\ge 1$ . Por tanto, el mínimo se obtendrá en $t = 2$ . que es $x=y=1$ .