¿Qué aspecto tiene el espacio de matrices no diagonalizables?

Question

Sea $k$ sea un campo $\mathbb C$ .
Consideremos la acción de $G=GL_n(k)$ por conjugación en el conjunto de $n\times n$ matrices sobre $k$ .
La colección $X$ de matrices con valores propios repetidos sobre $\overline k$ es una subvariedad (ya que es el conjunto cero del discriminante del polinomio característico), y además está preservada por $G$ .
Si dejamos que $k^n\subset X$ son las matrices diagonales con raíces repetidas, entonces $Y=X\setminus G(D)$ es el conjunto de matrices no diagonalizables, y también tiene una acción de $G$ .

Si $k=\overline k$ entonces cada $G$ -contiene un elemento en la forma normal de Jordan, y escalando las entradas no diagonales, permanecemos en la misma clase de conjugación, y así vemos que la matriz diagonal correspondiente está en el cierre de la órbita.
Por lo tanto $Y$ es denso en $X$ . Esto permite calcular la dimensión de $Y$ (creo).
Sin embargo, no sé muy bien qué más decir para describir $Y$ .

¿Qué significa $Y$ ¿Qué aspecto tiene? Sé que esto es un poco vago, pero no estoy muy seguro de cuál sería una reformulación razonable.
¿Existen buenas descomposiciones de $Y$ que ayuden a comprender su estructura? ¿Es lisa? ¿Es un colector? ¿Podemos calcular invariantes útiles de $Y$ ¿como la cohomología? ¿Es mejor comprender las órbitas individuales?
¿Hay otras acciones de grupo en $Y$ que dilucidan su estructura?

Answer 1

El término utilizado para describir estos espacios es el de un _espacio estratificado_ y se han producido algunos avances en este tipo de cuestiones, en particular para pares de matrices.

Como puede comprenderse fácilmente, la cuestión principal que equivale a comprender la estructura de estratificación de las órbitas de conjugación de matrices, es la siguiente: ¿qué formas de Jordan pueden aparecer si perturbamos una matriz con una forma de Jordan dada?

Boer y Thijsse lo han investigado y comprendido de forma independiente en Semiestabilidad de sumas de multiplicidades parciales bajo perturbación aditiva Int. Teoría Ec. Op. 3 (1980), 23-42 y Markus y Parilis en _El cambio de la estructura de Jordan de una matriz bajo pequeñas perturbaciones_ Mat. Emitido. 54 (1980), 98-109. Traducción al inglés: Linear Algebra Appl. 54 (1983), 139-152.

A partir de estos resultados, se puede construir el Diagrama de Hasse de estas clases de conjugación mostrando qué clases están contenidas en la clausura de una dada.

Un buen estudio sobre este problema figura en: L. Klimenko, V. Sergeichuk. Una introducción informal a las perturbaciones de matrices determinadas hasta por similitud o congruencia São Paulo J. Math. Sci. 8 (2014), 1-22.