Categorías Fukaya de reducciones hiperkahlerianas: solicitud general de información

Question

Me gustaría mucho escuchar cualquier referencia o información que la gente tenga sobre las categorías Fukaya de reducciones hiperkahlerianas de espacios vectoriales (para más información sobre las variedades, véase la tesis de Nick Proudfoot Análogos hiperkahlerianos de los cocientes de Kahler ). Se trata de variedades simplécticas muy bonitas (hiperkahler y exactas, en particular), así que creo que sus categorías de Fukaya también deberían ser bonitas, pero nunca he encontrado una buena referencia sobre ellas.

El ejemplo más destacado son las variedades de carcaj Nakajima. Me interesaría mucho saber algo sobre las categorías Fukaya de estas.

Una cuestión que me interesa especialmente es la homología de Floer de las imágenes de los subespacios lagrangianos invariantes en el cociente.

Answer 1

A riesgo de escribir cosas que son obvias para los que escuchan: esto es Nadler-land, ¿no?

Si $X$ es una variedad compleja lisa con grupo reductor $G$ actuar, y $\mu_{\mathbb C}: T^*X\rightarrow {\mathfrak g}^*$ es el mapa complejo de momentos, entonces $\mu_{\mathbb C}^{-1}(0)/G = T^*(X/G)$ siempre que se interpreten todos los cocientes como pilas.

Si $T^*X$ es hiperkahleriano y hacemos el cociente hiperkahleriano para el compacto máximo de $G$ , eligiendo un valor de momento real no trivial $\mu_{\mathbb R}^{-1}(\zeta)$ a la que reducir equivale (según Kirwan) a imponer una estabilidad GIT a $\mu_{\mathbb C}^{-1}(0)$ ---es decir, a elegir un buen subconjunto abierto de la pila cotangente $T^*(X/G)$ que en realidad es una variedad. Una versión apilada del teorema de las "branas microlocales" de Nadler describiría la categoría exacta de Fukaya (adecuada, indudablemente homotópica/derivada) como la categoría derivada construible de $X/G$ .

Puesto que ignoro por completo cómo funciona realmente la historia de Nadler-Zaslow/Nadler, me gustaría imaginar entonces que tal equivalencia se microlocaliza adecuadamente para dar también una equivalencia sobre la reducción de hiperkahler (es decir, el conjunto abierto agradable) Hay que admitir que al microlocalizar en el lugar estable se evitarían todas las molestias derivadas (esto debería ser análogo a lo que ocurre en la demostración de Bezrukavnikov-Braverman de Langlands geométricos "genéricos" para $GL_n$ en característica $p$ donde localizando al locus genérico, ${\mathcal D}$ -modulo significa realmente ${\mathcal D}$ -no "módulo sobre el algebroide envolvente del complejo tangente" o algo así).

Hay que reconocer que no tengo ni idea de cómo tratar el tema de que la base $X$ en los ejemplos importantes es típicamente afín...quizás si uno fuerza algún tipo de condiciones de contorno también en el $X$ -¿se podría hacer que la categoría Fukaya no fuera trivial en el ejemplo de Tim del esquema de Hilbert?

Answer 2

Parece un tema estupendo para uno o varios proyectos de tesis. Las definiciones pertinentes se encuentran en el libro de Seidel, al igual que potentes herramientas para describir las categorías de Fukaya. El teorema de functorialidad de Wehrheim-Woodward también puede resultar útil.

Lo único sustancial que se me ocurre es que, si no me equivoco, la categoría (exacta) Fukaya de $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ está vacía. La traslación en el plano induce un automorfismo de Hilb que debería ser hamiltoniano (porque es así lejos del digaonal, y así en todas partes por densidad - ¿no?). Hay que comprobar este punto. Sin embargo, tales mapas desplazarán cualquier lagrangiano exacto $L$ de sí mismo, por lo que $HF(L,L)=0$ contradiciendo el hecho de que el $HF(L,L)\cong H_*(L)$ .