"las únicas esferas dimensionales impar con una estructura lisa única son $S^1$ , $S^3$ , $S^5$ , $S^{61}$ "

Question

Este (largo) documento,

G [ ] arXiv:1601.02184 [math.AT] .

demuestra que

las únicas esferas de dimensión impar con una estructura lisa única son $S^1$ , $S^3$ , $S^5$ , $S^{61}$ .

El nuevo resultado es para $S^{61}$ .

¿Es posible dar alguna intuición sobre este notable resultado, para aquellos no versados en geometría algebraica y diferencial, y por tanto no familiarizados íntimamente con los grupos de homotopía de esferas? Cualquier intento será bienvenido.

Answer 1

Los resultados de esta forma, y mi intuición a partir de ellos, proceden de la Documento de Kervaire-Milnor sobre esferas exóticas . (Nunca hubo una homotopía de esferas II. El supuesto contenido de ese trabajo inédito parece resumirse en estas notas aunque no los he leído). Voy a tener que saltar al álgebra aquí; personalmente, no podría decirte la diferencia entre $S^{57}$ et $S^{61}$ sin ella.

Para $n \not\equiv 2 \bmod 4$ existe una secuencia exacta $$0 \to \Theta_n^{bp} \to \Theta_n \to \pi_n/J_n \to 0.$$ Para $n=4k-2$ en su lugar tenemos la secuencia exacta $$0 \to \Theta_n^{bp} \to \Theta_n \to \pi_n/J_n \xrightarrow{\Phi_k} \Bbb Z/2 \to \Theta_{n-1}^{bp} \to 0.$$

Empecemos por presentar al elenco de personajes. $\Theta_n$ es el grupo de homotopía $n$ -esferas . Se trata de variedades lisas, hasta el difeomorfismo, que son homotópicamente equivalentes (por lo tanto, según el teorema del h-cobordismo de Smale y, en dimensiones bajas, según los trabajos de Perelman y Freedman, homeomórficas) a las $n$ -esfera $S^n$ . (En realidad, identificamos $h$ -colectores cobordantes. Dado que $h$ -cobordismo se conoce ahora en todas las dimensiones al menos 5, no cambia nada para las variedades de alta dimensión; pero explica por qué $\Theta_4=1$ es posible aunque es un problema abierto, que se sospecha falso, que la 4-esfera admita una estructura lisa única. En cualquier caso, esto no es un inciso importante). La operación de grupo es la suma conexa. El dato que realmente buscamos es $|\Theta_n|$ - la número de estructuras lisas.

$\Theta_n^{bp}$ es el subgrupo de los $n$ -esferas que limitan colectores paralelizables . Este subgrupo es esencial, porque suele ser el que nos obliga a tener esferas exóticas en las otras dimensiones.

Este grupo es siempre cíclico (Kervaire y Milnor proporcionan un generador explícito). Como justificación aproximada de este grupo: la forma de hacerlo es tomando un elemento arbitrario, escribiendo una pluralidad paralelizable que limita, y utilizando la condición de paralelizabilidad para simplificar un poco el álgebra hasta que esta pluralidad limitante sea particularmente simple, momento en el que se identifica como una suma conectada de unos estándar, de ahí que $\Theta_n^{bp}$ es cíclico generado por el estándar. Yo (o mejor dicho, Milnor y Kervaire) puedo decirte su orden: Si $n$ es par, $|\Theta_n^{bp}| = 0$ ; si $n=4k-1$ , $$|\Theta_n^{bp}|=2^{2k-2}(2^{2k-1}-1) \cdot \text{the numerator of }\frac{4B_k}{k}$$ es algo desagradable, pero en particular siempre es distinto de cero cuando $k>1$ y para $n=4k-3$ es 0 o $\Bbb Z/2$ la primera precisamente si $\Phi_k \neq 0$ en la secuencia exacta anterior.

$\pi_n/J$ y el mapa $\Theta_n \to \pi_n/J$ es un poco más difícil de explicar; $\pi_n$ es el grupo estable-homotópico de las esferas, $J$ es la imagen de un mapa determinado, y el mapa de $\Theta_n$ envía una 7-esfera homotópica, que es establemente paralelizable, a su "clase de cobordismo enmarcado". Pero lo importante es que este término $\pi_n/J$ pertenece por completo al ámbito de la teoría de homotopía estable. Precisamente por eso se dice ahora que el problema de las esferas exóticas es "un problema de teoría de homotopías". (Para dar un poco más de detalle: La construcción de Thom-Pontryagin da que $\pi_n = \Omega_n^{fr}$ el grupo de cobordismo enmarcado, cuyos elementos son clases de equivalencia de variedades con trivializaciones del "haz tangente estable". Toda esfera homotópica es establemente trivial, y la imagen de $J$ es precisamente la diferencia entre dos trivializaciones estables cualesquiera). Este mapa $\Theta_n \to \pi_n/J$ podría motivar la introducción de $\Theta_n^{bp}$ - ya que es, más o menos obviamente, el núcleo. El hecho de que este mapa sea no siempre es suryectiva - la obstrucción proporcionada por $\Phi_k$ - es la afirmación de que no todas las variedades encuadradas son coordenadas encuadradas de una esfera. Me parece sorprendente que tantos lo sean.

Lo último que debes saber es sobre el mapa $\Phi_k$ . Se conoce como el invariante de Kervaire. Se sabe que es distinto de cero en las dimensiones $k=1,2,4,8,16$ y puede ser distinto de cero en la dimensión $32$ pero eso está abierto. El resultado notable de Mike Hill, Mike Hopkins, y Doug Ravenel es que $\Phi_k = 0$ para $k > 32$ . No tengo mucho que decir al respecto, aparte de que está ahí. Resumiendo lo que tenemos hasta ahora:

Para las dimensiones $n=4k-1>3$ siempre hay esferas exóticas procedentes de $\Theta_n^{bp}$ - ¡Muchos! Por dimensiones $n=4k-3$ , $\Theta_n^{bp} = \Bbb Z/2$ a menos que $k=1,2,4,8,16,32$ . Así que las únicas esferas impar-dimensionales posibles con una estructura lisa única son $S^1$ , $S^3, S^5, S^{13}, S^{29}, S^{61}$ y $S^{125}$ .

Pasemos ahora a los casos especiales. Es clásico que $S^1$ et $S^3$ tienen una única estructura lisa ( $S^3$ se debe a Moise); $S^5$ se aborda mediante 1) la búsqueda de un 6-manifold de invariante de Kervaire distinto de cero, mostrando que $\Phi_2 \neq 0$ y, por tanto, que $\Theta_5^{bp}=0$ y luego 2) calcular que $\pi_5$ el quinto grupo estable de homotopía de esferas, es cero. Esto se puede hacer con los cálculos de la secuencia espectral de Serre. (Me señalaron que esto significa que tres medallistas de diferentes campos trabajaron para obtener $\Theta_5 = 1$ - Milnor, Serre, Smale. Merece la pena señalar que existe una prueba topológica diferencial, procedente de la clasificación explícita de los 5-manifolds lisos y simplemente conectados, pero no es sustancialmente más fácil ni nada por el estilo).

Para $S^{13}$ et $S^{29}$ , estos son descalificados por el cálculo de la teoría de homotopía que $\pi_{13}/J$ et $\pi_{29}/J$ no son cero. No sé cómo se hacen estos cálculos - probablemente la secuencia espectral de Adams y un montón de secuencias espectrales auxiliares, que parece ser cómo se hacen muchas de estas cosas. Tal vez alguien más puede arrojar algo de luz sobre eso.

Para $S^{125}$ El propio documento explica por qué: Hay un espectro conocido como $tmf$ y los autores son capaces de escribir un homomorfismo $\pi_n/J \to \pi_n{tmf}$ y encontrar una clase en $tmf$ que se golpea cuando $n=125$ .

Así que lo que sabemos ahora es que $\pi_{61}/J \cong \Theta_n$ . El contenido del papel del que hablas es precisamente el cálculo que $\pi_{61}/J = 0$ . Los autores acceden a ella a través de la secuencia espectral de Adams, por lo que yo sé (no soy un experto). Adams SS es notoriamente difícil de calcular cualquier cosa con - en su mayor parte todo el contenido del documento es la identificación de un diferencial único en toda la secuencia espectral. Una vez hecho esto, son capaces de terminar el cálculo, pero es un trabajo duro. Si quieres un esbozo de cómo se hace esto, me pareció que la introducción a su documento legible - ver la sección 3 del documento.