Si $G$ es un grupo tal que $|G|=p^m k$ ¿ $G$ tiene un subgrupo de orden $p^n$ con $n<m$ .

Question

Si $G$ es un grupo tal que $|G|=p^m k$ ¿ $G$ tiene un subgrupo $H$ s.t. $|H|=p^n$ con $n<m$ ?

Sé que $G$ tiene un $p-$ subgrupo bajo, es decir, un grupo de orden $p^m$ .

También sé que $G$ tiene un elemento de orden $p$ y por tanto un subgrupo de orden $p$ (de hecho $\left<g\right>$ donde $g^p=1$ ).

1) Pero para $1<n<m$ ¿existe un grupo de orden $p^n$ ?

2) Por cierto, ¿todos los $p-$ (es decir, un grupo de orden $p^n$ ) son abelianos? (en la solución de un ejercicio, utilizan tal propiedad pero nunca he visto tal resultado).

Answer 1

Sí existe tal subgrupo. Para probarlo, véase el teorema 1 de https://en.wikipedia.org/wiki/Sylow_theorems#Proof_of_the_Sylow_theorems .

Answer 2

Para responder a su segunda pregunta: no todos los $p$ -son abelianos. El contraejemplo más sencillo es $Q_8$ el grupo de los cuaterniones. Sin embargo, se da el caso de que todos $p$ -tienen centro no trivial. Ésta es una ingeniosa consecuencia de la ecuación de clase. Para $P$ un grupo de orden de potencia primo $p^m$ , $$|P| = |Z(P)| + \sum_{i=1}^r[P:C_P(g_i)]$$ donde $g_1,\dots,g_r$ son representantes de las clases de conjugación no centrales de $P$ . Desde entonces $C_P(g_i) \neq P$ por definición, debemos tener $p$ dividiendo cada término de la suma. Y como $p$ divide $|P|$ también debe dividir $|Z(P)|$ por lo que el centro no es trivial.

Answer 3

Sea $P$ sea el $p$ -sylow sugroup de $G$ entonces $|P|=p^{m}$ existe un subgrupo normal $N$ de $P$ de orden $p^{m-1}$ también existe un subgrupo normal de N de orden $p^{m-2}$ , ....

Todos esos grupos son subgrupos de $G$