Si $G$ es un grupo tal que $|G|=p^m k$ ¿ $G$ tiene un subgrupo $H$ s.t. $|H|=p^n$ con $n<m$ ?
Sé que $G$ tiene un $p-$ subgrupo bajo, es decir, un grupo de orden $p^m$ .
También sé que $G$ tiene un elemento de orden $p$ y por tanto un subgrupo de orden $p$ (de hecho $\left<g\right>$ donde $g^p=1$ ).
1) Pero para $1<n<m$ ¿existe un grupo de orden $p^n$ ?
2) Por cierto, ¿todos los $p-$ (es decir, un grupo de orden $p^n$ ) son abelianos? (en la solución de un ejercicio, utilizan tal propiedad pero nunca he visto tal resultado).