Un problema especial de valores propios

Question

Sea $A\in\mathbb{R}^{9\times 9}$ y $I_3\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ es la matriz de identidad. Ahora voy a encontrar una matriz $\Lambda\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ et $x\in\mathbb{R}^9$ tal que $$(A-\Lambda\otimes I) x=0$$ donde $\otimes$ es el producto de Kronecker. Parece un problema de valores propios generalizado en comparación con el normal $(A-\lambda I)x=0$ . ¿Alguien ha visto alguna vez este tipo de problema?

Answer 1

Obviamente $x=0$ servirá, pero supongo que no quieres eso. Hay un no-cero $x$ que funciona si y sólo si $\det(A - \Lambda \otimes I) = 0$ . Esto será un polinomio en el $\lambda_{ij}$ de grado total 9, con grado $3$ en cada uno de los $\lambda_{ij}$ los términos de grado total 9 son $\det(\Lambda)^3$ . Así que debería ser capaz de especificar valores aleatorios para todos menos uno $\lambda_{ij}$ y resolver una cúbica cúbica en el resto $\lambda_{ij}$ .