semicontinuo inferior de la función convexa

Question

Sea $\Omega\subset\mathbb{R}$ sea un conjunto convexo, $\phi :\Omega\to\mathbb{R}$ sea una función convexa y $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia en $L^1(\mathbb{R}^d)$ con valor en $\Omega$ . Supongamos que \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{L^1(\mathbb{R}^d)}=0\quad \text{and}\quad \sup_{n}\|\phi(f_n)\|_{L^1(\mathbb{R}^d)}<\infty. \end{align*} ¿Podemos demostrar que \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^d}\phi(f(x))dx\le\varliminf_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}\phi(f_n(x))dx? \end{align*} Obsérvese que la función convexa $\phi$ puede ser negativo, lo que hace que falle el Lemma de Fatou . Por ejemplo, si $f_n$ y $f$ son funciones positivas, y $\phi(x)=x\ln x$ esperamos que \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^d}f(x)\ln f(x)dx\le\varliminf_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}f_n(x)\ln f_n(x)dx. \end{align*}

Answer 1

En general, la afirmación no es cierta.

He aquí un contraejemplo para $$ \phi(x) = \begin{cases} + \infty & \text{ if } x<0\\ -\sqrt x & \text{ if } x\ge0. \end{cases} $$ Establecer $f_n = \frac1{n^2}\chi_{(0,n)}$ . Entonces $f_n \to 0$ en $L^1$ , $\phi(0)=0$ pero $\int_{\mathbb R}\phi(f_n) dx = -1$ .

Del mismo modo, se puede construir un contraejemplo para $\phi(x)=x\log x$ : toma $a_n$ sea una solución de $a \log a = -\frac1n$ tal que $a_n\cdot n\to0$ para $n\to\infty$ lo que es posible utilizando el método de Lambert $W$ -función. A continuación, establezca $f_n = a_n\chi_{(0,n)}$ .

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Supongamos que $\phi:\mathbb R \to \mathbb R \cup\{+\infty\}$ sea convexa y semicontinua inferior. Si $\phi(0)=0$ y $\partial \phi(0)\ne\emptyset$ entonces la afirmación puede demostrarse de la siguiente manera:

Toma $s\in \partial \phi(0)$ entonces $\phi(x) \ge sx$ . Aplique ahora el lema de Fatou para obtener $$ \int \phi(f) - sf \ dx \le \int \liminf (\phi(f_n)-sf_n) \le \liminf \int \phi(f_n)-sf_n \\ = \liminf \int \phi(f_n)dx - \int sf\ dx, $$ la integral $\int sf\ dx$ es finito, por lo que puede anularse. (Aquí, la primera desigualdad proviene de la semicontinuidad inferior de $f\mapsto \phi(f)-sf$ , el segundo es el lema de Fatou).