Tengo la relación de recurrencia: $$ a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2} ; a_0 = 2, a_1=1$$ Esto es lo que hice: $$ let \ \ g(x) = \sum a_n x^n \ \ then; \\ g(x) -a_0 -a_1x = \sum_{n=2}^\infty a_nx^n \\ \implies g(x) -2 -x = \sum_{n=2}^\infty (a_{n-1} + 2a_{n-2})x^n \\ \implies g(x)-2-x= \sum_{n=2}^\infty a_{n-1}x^n + 2\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^n \\ \implies g(x)-2-x= x(g(x)-1) + 2x^2g(x)\\ \implies g(x)(1-x-2x^2) = 2\\ \implies g(x) = \frac{2}{1-x-2x^2}; \ \frac{2}{1-x-2x^2}= \frac{2}{3(1+x)} + \frac{4}{3(1-2x)} \\ \implies \frac{2}{3}\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n + \frac{4}{3}\sum_{n=0}^\infty (2x)^n \\ $$ Dar $$ a_n = \frac{2}{3}(-1)^n + \frac{4}{3}(2^n) \implies a_n = \frac{2}{3}((-1)^n + 2^{n+1}) $$
Pero cuando escribía la relación de recurrencia original en Wolfram Alpha y en matlab obtenía la relación de recurrencia de: $$a_n = (-1)^n + 2^n $$ Y no puedo encontrar mi error para obtener esta relación de recurrencia. Cualquier ayuda sería apreciada.
