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Mapa de cobertura universal de $\mathcal{H}$ a $\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}\oplus i\mathbb{Z}$ (el plano complejo contablemente puntuado)

Es una consecuencia del teorema de uniformización para superficies de Riemann simplemente conectadas que la cubierta universal de $\mathbb{C}\setminus(\mathbb{Z}\oplus i\mathbb{Z})$ ( $\mathbb{C}$ perforado en todos los puntos de la red integral) es el semiplano superior $\mathcal{H}$ .

¿Cómo debo considerar este mapa? ¿Cómo se comporta el mapa cerca de los puntos de red que faltan?

Una pregunta relacionada es la siguiente: $\mathcal{H}$ es también la cubierta universal de un toro puntuado, cuyo grupo fundamental es $F_2$ el grupo libre sobre dos generadores. Comparando el toro perforado con la cuña de dos círculos, me parece que la cubierta universal del toro perforado, es decir $\mathcal{H}$ debe ser deformación-retractable a un árbol infinito 4-regular. Es decir, el árbol infinito 4-regular debería poder incrustarse en $\mathcal{H}$ de forma que todos los vértices del árbol se encuentren en la frontera de $\mathcal{H}$ . ¿Qué aspecto tiene este árbol en $\mathcal{H}$ ?

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