Valor actual del pago del préstamo

Question

Usted valora un coche en 30.000 dólares. Si tiene previsto realizar pagos continuos durante 5 años y a un tipo de interés de r = 10%.

1) ¿Cuánto debería pagar al año para que el valor actual de sus pagos totales en 30.000?

La fórmula que creo que debo utilizar es

$$PV = PMT\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$

Así que resolviendo para $PMT$ He obtenido 7913,48. ¿Lo he hecho correctamente?

2)¿Y si en lugar de eso decidieras que tus pagos aumentaran con el tiempo y pagaras a un tasa de $6000 + t*1000$ al año, donde t se mide en años. ¿Cuánto tardaría (Ten en cuenta que la ecuación que obtengas puede ser difícil de resolver, así que puedes utilizar una calculadora gráfica para hacer una estimación).

No estoy muy seguro de cómo enfocar esto. ¿Uso la misma ecuación y resuelvo para t? Supongo que la $t$ es el mismo que el $n$ que utilicé en mi $pv$ ¿es correcta?

Gracias

Answer 1

Para un pago anual, necesitamos $n=5, i=.1$ y un valor actual, que es de 30.000. $$30,000=PMT\frac{1-\frac{1}{1.1^5}}{.1}.$$ Dividiendo por la parte derecha nos da un pago anual de 7.913,92

Para una anualidad creciente (es posible que no disponga de la maquinaria para resolver esto con cálculo simple), utilizaría la fórmula para una anualidad creciente que es $$P\frac{1-\nu^n}{i}+Q\frac{\frac{1-\nu^n}{i}-n\nu^n}{i}$$ .donde P son tus 6.000 dólares y Q son tus 1.000 dólares que aumentan en t, y $\nu$ se define como $\frac{1}{1+i}$ .

Si no dispone de esa maquinaria, basta con mirar su flujo de pagos. En el momento $1$ tenemos $6,000+1*1,000 = 7,000$ en el momento $2$ tenemos $6,000+2*1,000=8,000$ . $$year (1): 7,000$$ $$year (2): 7,000+1,000$$ $$year (3): 7,000+1,000+1,000$$ $$year (4): 7,000+1,000+1,000+1,000$$ $$year (5): 7,000+1,000+1,000+1,000+1,000$$ Si lo escribes así, verás que tienes 5 conjuntos diferentes de pagos iguales. Tienes una anualidad de 5 años con 7.000, una de 4,3,2, y una de 1 año con 1.000. Sólo tienes que descartar la anualidad de 4 años una vez, la de 3 años dos veces, etc. Por lo tanto, $$PV=7,000\frac{1-\frac{1}{1.1^5}}{.1}+1,000\frac{1-\frac{1}{1.1^4}}{.1}\left(\frac{1}{1.1}\right)+1,000\frac{1-\frac{1}{1.1^3}}{.1}\left(\frac{1}{1.1^2}\right)+1,000\frac{1-\frac{1}{1.1^2}}{.1}\left(\frac{1}{1.1^3}\right)+1,000\frac{1-\frac{1}{1.1}}{.1}\left(\frac{1}{1.1^4}\right)$$

Te dejo el cálculo.

Answer 2

No sé qué $r$ reprents, por lo que asumiremos que es el eficaz tasa anual.

Si ese es el caso, entonces un dólar crece en un año a $e^k$ dólares, donde $e^k=1.10$ . Así $k=\ln(1.10)$ . Pero seguiremos utilizando $k$ .

Sea $c$ el importe pagado al año. Así que estamos pagando a una tasa anual de $c$ . El valor actual de estos pagos es $$\int_0^5 c e^{-kt}\,dt.$$

Integrar. El resultado debe ser $30000$ . Así obtenemos la ecuación $$c\frac{1}{k}\left(1-e^{-5k}\right)=30000.$$ En la ecuación anterior, sabemos todo excepto $c$ por lo que puede resolver $c$ .

Para el segundo problema, la configuración es más o menos similar, salvo que no conocemos el número $y$ de años, pero sí conocemos la tasa de pago. Terminamos con la ecuación $$\int_0^y (6000+1000t)e^{-kt}\,dt=30000.$$ Podemos hacer la integración utilizando la integración por partes. Sin embargo, acabamos con una ecuación en $y$ que no podemos resolver analíticamente. Sin embargo, la ecuación puede resolverse utilizando un método numérico. También puede resolverse con una precisión adecuada con una calculadora gráfica.

Observación: Es posible que el $r$ podría referirse al fuerza de interés . En ese caso tendríamos $k=0.10$ . Opté por interpretarlo como el tipo efectivo anual, ya que parecía más plausible.