¿Por qué no es la función Weierstrass $\sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n\pi x)$ ¿Diferenciable?

Question

Hay un ejemplo famoso de función que no tiene derivada: la función de Weierstrass:

Pero sólo con mirar esta ecuación - parece que no puedo entender por qué exactamente la Función de Weierstrass no tiene una derivada?

He intentado consultar algunos artículos en Internet (p. ej. https://www.quora.com/Why-isnt-the-Weierstrass-function-differentiable ), pero sigo sin entender qué impide que esta función tenga una derivada.

Por ejemplo, si se expande el término sumatorio para algún valor muy grande (finito) de $n$ : $$ f(x) = a \cos(b\pi x) + a^2\cos(b^2\pi x) + a^3\cos(b^3\pi x) + ... + a^{100}\cos(b^{100}\pi x) $$ ¿Qué nos impide tomar el derivado de $f(x)$ ? ¿Es la función de Weierstrass no diferenciable sólo porque tiene "infinitos términos", y ninguna función con infinitos términos puede diferenciarse?

Para un valor finito de $n$ ¿es diferenciable la función de Weierstrass?

Gracias.

Answer 1

El valor de una serie infinita se define como el límite de los valores de sus sumas parciales: $$ \sum_{n=0}^\infty f(n) = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^N f(n) \text{.} $$ por lo que lo correcto al tratar de entender la convergencia de la serie dada y su derivada termal es mirar lo que hacen las sumas parciales a medida que añadimos más y más términos.

Hagámoslo. Escojamos $a = 1/2$ y $b = 13$ (el menor número entero impar que satisface $ab > 1 + \frac{3}{2}\pi$ ). (Nota: la imagen de su pregunta tiene $a = 1/2$ , $b = 3$ ). Definamos $$ W_N = \sum_{n=0}^N (1/2)^n \cos( 13^n \pi x) \text{,} $$ la suma del primer $N$ condiciones. Además, puesto que $W_N$ es un finito podemos hallar su derivada diferenciando término a término. (Esto no siempre funciona para infinito sumas porque el límite (exterior) para la derivada y el límite (interior) para la suma no necesariamente conmutan -- intercambiar el orden de los límites puede dar resultados diferentes. Así que hay que tener más cuidado cuando eso ocurre). $$ W_N' = -\sum_{n=0}^N (1/2)^n 13^n \pi \sin(13^n \pi x) $$

Antes de pasar a las imágenes, dediquemos un segundo a ver lo que ya está presente. En $W_N$ el coeficiente de la función trigonométrica es $(1/2)^n$ . Desde $0 < a < 1$ potencias sucesivas de $a$ se hacen más pequeños -- los cosenos sucesivos se mezclan con amplitudes cada vez más pequeñas. Cada vez que incrementamos $N$ El nuevo término es empequeñecido por cada término precedente, por lo que es plausible que la función dada por la secuencia de sumas parciales se establezca en alguna función límite haciendo ajustes cada vez más pequeños a medida que añadimos más términos.

Sin embargo, los coeficientes de los senos en $W_N'$ , $(13/2)^n\pi $ son aumentando más rápido que las potencias de $\left(1 + \frac{3}{2}\pi\right) = 5.7123{\dots}$ . Esto significa que cada nueva sinusoide tiene una amplitud al menos 5 veces mayor (de hecho, $13/2$ -veces mayor) que el anterior -- cada vez que incrementamos $N$ el nuevo término empequeñece la suma de todos los términos anteriores. Esto significa que el $W_N'$ no se asientan hacia alguna función, sino que oscilan con amplitud y frecuencia rápidamente mayores, sin asentarse hacia un límite.

Aquí está $W_5(x)$ en $[-3/2,3/2]$ y luego en $[0,1/25\,000]$ (para mostrar la contribución del último término).

Veamos ahora $W_5'$ en los mismos intervalos.

Vemos que los estrechos meneos causados por el quinto término de la serie están produciendo derivadas que oscilan de $-40\,000$ a $40\,000$ en todas partes, con pequeñas variaciones respecto a los términos anteriores.

Vamos a tener las mismas cuatro fotos durante seis trimestres.

Para la función, $W_6(x)$ el sexto término ajusta los valores de la función mediante $\pm 0.02$ o menos. Para la derivada, las estrechas ondulaciones tienen ahora a la derivada agitándose desde casi $-300\,000$ a casi $300\,000$ con una frecuencia muy alta.

Y el patrón continúa a medida que tomamos más términos -- $W_N$ se aproxima a una función continua y $W_N'$ se esfuerza cada vez más para que su gráfica pase por todos los puntos del plano.

Answer 2

El concepto básico utilizado en la construcción de la función de Weierstrass es que cuando se tiene $\sum r^n$ converge para $|r|<1$ y diverge para $|r|\ge1$ . Así que si usted puede conseguir una función que implica $\sum r^n$ con $|r|<1$ y cuya derivada aumenta $|r|$ sobre $1$ entonces la derivada divergirá.

Cuando tomamos la derivada de $a^n\cos(b^n\pi x)$ obtenemos $-a^nb^n\pi\sin(b^n\pi x)$ o $-(ab)^n\pi\sin(b^n\pi x)$ . Así que antes de la derivada, nuestro $r$ es $a$ pero después de la derivada es $ab$ . Por tanto, ignorando las funciones trigonométricas, si $|a|<1$ y $|ab|\ge1$ la función converge y la derivada diverge. Las funciones trigonométricas lo complican un poco, haciendo que necesitemos $|ab|$ sea mayor que $1+\frac 32 \pi$ pero la idea básica sobrevive.

El mero hecho de tener una función definida en términos de una serie infinita no significa que no podamos tomar la derivada, simplemente introduce la cuestión de que la derivada puede no convergen. Hay un montón de estas funciones de las que podemos tomar la derivada; si has visto series de Taylor o de Fourier, verás un montón de ejemplos de funciones con derivadas bien definidas. Por ejemplo, la derivada de $e^{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^n}{n!}$ es $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(2x)^n}{n!}=2e^{2x}$ .

Si se toma la derivada de un onda triangular , se obtiene un onda cuadrada . Ambas ondas tienen series de Fourier, pero la serie de Fourier para la onda cuadrada tiene discontinuidades repetidas. Cada una de estas discontinuidades son sólo puntos, y la derivada sigue estando bien definida en los intervalos entre ellas. Se puede pensar que la función de Weierstrass es similar a la suma de un número infinito de ondas triangulares, de modo que cada intervalo, por pequeño que sea, contiene un punto en el que al menos una de las ondas triangulares tiene una derivada que no converge y, por tanto, la derivada no existe en ninguna parte.