¿Por qué no es la función Weierstrass $\sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n\pi x)$ ¿Diferenciable?

Question

Hay un ejemplo famoso de función que no tiene derivada: la función de Weierstrass:

Pero sólo con mirar esta ecuación - parece que no puedo entender por qué exactamente la Función de Weierstrass no tiene una derivada?

He intentado consultar algunos artículos en Internet (p. ej. https://www.quora.com/Why-isnt-the-Weierstrass-function-differentiable ), pero sigo sin entender qué impide que esta función tenga una derivada.

Por ejemplo, si se expande el término sumatorio para algún valor muy grande (finito) de $n$ : $$ f(x) = a \cos(b\pi x) + a^2\cos(b^2\pi x) + a^3\cos(b^3\pi x) + ... + a^{100}\cos(b^{100}\pi x) $$ ¿Qué nos impide tomar el derivado de $f(x)$ ? ¿Es la función de Weierstrass no diferenciable sólo porque tiene "infinitos términos", y ninguna función con infinitos términos puede diferenciarse?

Para un valor finito de $n$ ¿es diferenciable la función de Weierstrass?

Gracias.

Answer 1

Nada nos impide tomar la derivada de cualquier suma parcial finita de esta serie. Se trata de un polinomio trigonométrico y tiene derivadas de todos los órdenes.

Sin embargo, esta suma infinita representa la límite de dichos polinomios trigonométricos. Un límite puntual de funciones diferenciables no tiene obligación de ser diferenciable.

Por otra parte, el mero hecho de que esta función sea una suma infinita no implica automáticamente que no sea diferenciable en ninguna parte. Una serie infinita de potencias o una serie trigonométrica infinita puede ser diferenciable en todas partes, diferenciable en ninguna parte o diferenciable en algunos lugares y en otros no.

Para comprobar si una función es diferenciable en un punto $x_0$ debe determinar si el límite $\lim_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ existe. Si no es así, la función no es diferenciable en $x_0$ .

Existen varios teoremas que nos ayudan a eludir la necesidad de hacerlo directamente. Por ejemplo, podemos demostrar que la composición de funciones diferenciables es diferenciable, y que varias funciones elementales son diferenciables en todas partes, lo que nos permite concluir que cosas como $\cos(17x^2)-e^x$ son diferenciables en todas partes.

Uno de estos atajos se aplica cuando se tienen sumas infinitas con convergente uniforme derivados. Este resultado tan importante nos permite concluir que muchas funciones definidas por series infinitas tienen efectivamente derivadas, y esas derivadas son las que cabría esperar. Pero esto no se aplica aquí, ya que esta suma hace no tienen derivadas uniformemente convergentes.

Y una vez más, este hecho por sí solo no es suficiente para demostrar que la función no es diferenciable en ninguna parte. Para demostrarlo, hay que arremangarse y elaborar desigualdades que se apliquen en todas partes e impidan que exista el límite anterior. Esto se hace con cuidado aquí por ejemplo.

Answer 2

Para calcular la derivada de una función en un punto dado (por ejemplo $x=0$ ), sólo tiene que mantener el zoom en este punto hasta que la curva se suavice:

Oh, espera...

Answer 3

Como han señalado otras respuestas, mientras que las sumas parciales de la función convergen, las sumas parciales de las derivadas no. Para ver esto, acabo de hacer un cálculo rápido. Sea $f_m(x)$ sean las sumas parciales, $$f_m(x) = \sum_{n=0}^m a^n \cos(b^n \pi x)$$ Para las primeras sumas parciales con $a=0.6$ y $b=7$ parece

Veamos la convergencia en algunos puntos seleccionados arbitrariamente

Vemos que converge con bastante rapidez a los valores asintóticos. Tomando estos mismos puntos, veamos la convergencia de la primera derivada, $f'_m(x)$ . Voy a representar el valor absoluto para que veas lo que ocurre (fíjate en la escala logarítmica del eje vertical)

Es evidente que las sumas parciales de las primeras derivadas no convergen. De hecho, divergen exponencialmente rápido.

Answer 4

No es que sea una suma infinita, cualquier función analítica se puede escribir como una suma infinita por definición y es diferenciable.

La cuestión es que la función tiene la naturaleza de un fractal, en cada nivel de zoom sigue teniendo cambios bruscos de dirección. Así que sí, en cualquier nivel finito se puede tomar una derivada en la mayoría de los puntos, porque un nivel finito no tiene el zoom infinito que impide que exista una derivada local.

Recuerda, la derivada es una existencia local de un límite, $f(x)$ es diferenciable en $a$ si por algún pequeño barrio de los alrededores $a$ ,

$$\frac {f(x)-f(a)}{x-a}$$

se mantiene cerca de un valor. Pero esta función obtendrá todos los tipos diferentes de pendientes en cualquier vecindad diminuta... sólo tienes que acercarte lo suficiente para ver el comportamiento irregular.

Answer 5

Mientras que otros han dado respuestas diciendo que un límite puntual de funciones diferenciables no necesita ser diferenciable, He aquí un ejemplo sencillo que explica por qué es así .
Se puede encontrar un límite de funciones suaves que convergen a la función de valor absoluto no diferenciable en $0$ como muestra la siguiente imagen: