¿Existe un refinamiento del teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg para la cohomología?

Question

El teorema HKR para cohomología en característica cero dice que si $R$ es una regular, conmutativa $k$ álgebra ( $char(k) = 0$ ) entonces un cierto mapa $\bigwedge^* Der(R) \to CH^*(R,R)$ (donde $\wedge^* Der(R)$ tiene diferencial cero) es un cuasi-isomorfismo de espacios vectoriales dg, es decir, induce un isomorfismo de espacios vectoriales graduados sobre la cohomología.

¿Puede extenderse el morfismo HKR a un $A_\infty$ ¿morfismo? ¿Existe un refinamiento en este espíritu para compensar el hecho de que no es, a primera vista, un morfismo de dg-álgebras?

Answer 1

Sí que la hay. Kontsevich observó hace mucho tiempo que el cuasi-isomorfismo HKR en co-cadenas puede corregirse para dar un cuasi-isomorfismo de dg-algebras y así inducir un $A_\infty$ cuasi-isomorfismo de modelos mínimos. La corrección es muy natural - uno necesita para componer el mapa HKR que la contracción por la raíz cuadrada de la clase Todd, donde este último se entiende como un polinomio de la clase Atiyah. Esta historia se ha estudiado con gran detalle en los últimos años y se ha generalizado aún más para dar la formalidad de Tsygan, que es un cuasi-isomorfismo de $\infty$ -calculi. Esto fue demostrado por Dolgushev-Tamarkin-Tsygan y también por Calaque-Rossi-van den Bergh.

La bibliografía sobre el tema es enorme, pero puede hacerse una idea de los resultados si consulta este encuesta por Dolgushev-Tamarkin-Tsygan y en este papel de Calaque-Rossi-van den Bergh. También hay muchas referencias interesantes en estos documentos, por ejemplo los trabajos de Caldararu sobre el emparejamiento Mukai.