Producto interior Espacios Desigualdad Pregunta

Question

Demostrar que para cualquier número natural $n$ y números reales $x_1, x_2, ..., x_n$ tenemos la desigualdad $$\left|\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k\right| \le\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nx^2_k\right)^\dfrac{1}{2}$$

Mi primera idea fue utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pero no estoy seguro de si podemos utilizar sólo una variable en ella y

(editar para que la siguiente parte de la frase probablemente no es relevante, pero voy a mantener de todos modos) que no incluiría la $\dfrac{1}{n}$ a la izquierda y $\dfrac{1}{2}$ a la derecha.

Lo siguiente que miraba era la norma de x. $$\|\textbf{x}\|=\sqrt{\textbf{x}\cdot \textbf{x}}=\sqrt{\sum_{k=1}^nx^2_k}$$ Y $$\|\textbf{x}\|_1=\sum_{k=1}^n|x_k|$$ Pero no veo como podría funcionar con el segundo, si alguien me puede dar un empujoncito en la dirección correcta, se lo agradecería enormemente.

Answer 1

Por C-S $$\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nx^2_k\right)^\dfrac{1}{2}=\frac{1}{n}\sqrt{\sum_{k=1}^n1^2\sum_{k=1}^nx_k^2}\geq\frac{1}{n}\sqrt{\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)^2}=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k\right|.$$

Answer 2

Sea ${\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)$ y ${\bf y}=(1/n,\ldots,1/n)$ . Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwartz, $$\begin{align*} \lVert{\bf x}\rVert\lVert{\bf y}\rVert&=\left(\sum_{k=1}^{n}{x_k^2}\right)^{1/2}\left(n\cdot\frac{1}{n^2}\right)^{1/2}=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{x_k^2}\right)^{1/2} \\ &\geq|\langle{\bf x},{\bf y}\rangle|=\left\lvert\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_k}\right\rvert. \end{align*}$$ Esta respuesta es esencialmente la misma que la de Michael, salvo que utiliza diferentes notaciones en los pasos intermedios.