Considere "Volumen" como una función a partir de un conjunto de $d$ -cuerpos convexos adimensionales a números reales. Esta función es homogénea de grado $d$ (bajo reescalamientos de los cuerpos convexos). El teorema de Minkowski afirma que esta función es, de hecho, la restricción de una función simétrica multilineal (con respecto a la adición de Minkowski) sobre $d$ -tuplas de cuerpos convexos denominadas "volumen mixto".
Esto es similar a la relación entre una forma cuadrática y la forma bilineal correspondiente, con identidad de polarización (generalizada a $d$ -lineal), lo que implica que si existe tal función de volumen mixta, es única (véase https://mathoverflow.net/questions/71952/do-the-elementary-properties-of-mixed-volume-characterize-it-uniquely/71980#71980 por ejemplo).
Por supuesto, una función homogénea arbitraria de grado $d$ en un espacio vectorial no es un polinomio homogéneo, por lo que lo más probable es que no provenga de restringir una forma simétrica multilineal.
¿Por qué el volumen? En otras palabras, ¿por qué deben existir los volúmenes mixtos?
Por supuesto que es un teorema que hacen, pero las demostraciones que he visto proceden por inducción sobre la dimensión y no he sido capaz de extraer ninguna intuición de ellas.
