Si $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ es de variación acotada, es $|f'|$ ¿es integrable?

Question

Al leer la respuesta más votada en esta entrada la respuesta parece utilizar el siguiente hecho (en el primer punto de la respuesta):

Alegación: Si $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ es de variación acotada, entonces $f'$ es absolutamente integrable (es decir $\int_{0}^{1} |f'(x)| dx < \infty$ ).

¿Es cierto? Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo?

Mi intento de prueba es el siguiente: Supongamos que $f$ es de variación acotada en $[0,1]$ . Fijar una partición $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_N = 1$ de $[0,1]$ . Entonces $$ \sum_{j=1}^{N} |f(t_j) - f(t_{j-1})| \leq M$$ para algunos $M < \infty$ independiente de la partición. Ahora quiero aplicar el Teorema del Valor Medio aquí, pero no estoy seguro de si podemos hacer esto porque $f'$ sólo existe en casi todas partes. Si $f'$ existe para todos $x \in [0,1]$ entonces podemos seleccionar algunos $c_j \in (t_{j-1},t_j)$ para cada $j$ para que $ f(t_j) - f(t_{j-1}) = \sum_{j=1}^{n} |f'(c_j)|(t_j - t_{j-1})$ lo que nos da

$$ \sum_{j=1}^{N} |f'(c_j)| (t_j - t_{j-1}) \leq M, $$

que es la integral de la función escalón $\psi(x) = \sum_{j=1}^{N} |f'(c_j)| \chi_{(t_j - t_{j-1})}$ . Ahora bien, si pudiéramos elegir una secuencia de particiones de modo que la correspondiente secuencia de funciones escalonadas aumentara a $f$ entonces creo que el Teorema de Convergencia Monótona, junto con el límite uniforme $M$ para $\int \psi$ debería terminar el trabajo. Según la respuesta aceptada en esta entrada una función $f:I \to \mathbb{R}$ ( $I$ un intervalo finito) es el límite de una sucesión creciente de funciones escalonadas si $f$ Riemann integrable, pero no creo que ser de variación acotada implique integrabilidad de Riemann (¿o sí?).

Así que para resumir mis preguntas:

1. ¿El hecho de que $f'$ no tiene por qué existir para todos $x \in [0,1]$ arruinar el método de prueba anterior? ¿O puede seguir funcionando el MVT?
2. Si $f$ es de variación acotada, ¿podemos decir que $f$ ¿es el límite de una sucesión creciente de funciones escalonadas?

Agradecería cualquier otra prueba de esta afirmación.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ es monótona creciente, entonces $f'$ existe a.e. y $f(1)-f(0)\geq\int_{0}^{1}f'\geq0$ . En particular, $f'$ es integrable.

Ahora bien, si $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ es de variación acotada, nosotros podemos escribir $g=g_{1}-g_{2}$ para algunas funciones crecientes $g_{1}$ , $g_{2}$ definido en $[0,1]$ . Ahora que $g'=g_{1}'-g_{2}'$ a.e.. Desde $g_{1}'$ y $g_{2}'$ son integrables, $|g'|$ también es integrable.