Consideremos el problema generalizado de valores propios $$A\textbf{v}=\lambda B \textbf{v},$$ donde $A$ se supone simétrica, no singular, con valores propios distintos y $B$ simétrica y definida positiva y que $(\lambda_i,\textbf{v}_i)$ sea el $i$ -enésimo par propio del problema. Me gustaría demostrar que el $\textbf{v}_i$ puede elegirse de forma que $$\textbf{v}_i^TB\textbf{v}_j=\delta_{ij}.$$ He conseguido demostrar que para $i \neq j$ los vectores $\textbf{v}_i$ et $\textbf{v}_j$ son ortogonales con respecto a $B$ (es decir $\textbf{v}_i^TB\textbf{v}_j= 0$ para $i \neq j$ ), pero no estoy seguro de cómo demostrarlo en el caso $i=j$ Puedo tener $$\textbf{v}_i^TB\textbf{v}_i=1.$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Asumo que tus matrices son reales.
Los vectores propios generalizados $v$ corresponden a los vectores propios $w$ de $B^{-1/2} A B^{-1/2}$ por $v = B^{1/2} w$ . Desde $B^{-1/2} A B^{-1/2}$ es simétrica, tiene una base ortonormal de vectores propios $w_j$ . Entonces $v_i^T B v_j = w_i^T w_j = \delta_{ij}$ .
