$f:X \to Y$ es continua si y sólo si para cada subconjunto A de $X$ , $f(\overline{ A}) \subseteq \overline{f(A)}$

Question

En un ejercicio me piden que demuestre lo siguiente:

Sea $(X,\tau)$ et $(Y,\tau_1)$ sean espacios topológicos y $f:(X,\tau)\to(Y,\tau_1)$ . Demostrar que $f$ es continua si y sólo si para cada subconjunto A de $X$ , $f(\overline{ A}) \subseteq \overline{f(A)}$ .

Siempre tengo problemas con los problemas que implican el cierre de un conjunto, así que confieso que no se me ocurre cómo abordar este problema. ¿Podría alguien darme algunos consejos y/o decirme cómo debería empezar mi demostración o simplemente algunas cosas a tener en cuenta a la hora de resolverlo? Como quiero resolverlo yo mismo estoy no pido una prueba de esta afirmación Así que si quieres responder a una, por favor, márcala como spoiler.

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P.D: Hay otra pregunta que tengo pero es muy corta y no creo que sea suficiente para tener un post propio, la pregunta es:

Si $f:(X,\tau) \to (Y,\tau_1)$ es continua significa que $\forall A \in \tau, \exists B \in \tau_2: f^{-1}(B) = A$ ? No creo que esta suposición sea cierta, pero no se me ocurre ningún contraejemplo, así que quería confirmarlo.

Answer 1

Puede utilizar el hecho de que $\overline{B}$ es el mínimo conjunto cerrado que contiene $B$ para cualquier subconjunto $B$ .

Si $f$ es continua, y $A \subseteq X$ , $\overline{f[A]}$ está cerrado en $Y$ así que $f^{-1}[\overline{f[A]]}$ está cerrado en $X$ ( Aquí utilizamos la continuidad de $f$ Ese conjunto contiene claramente $A$ (¿por qué?) entonces... y luego terminar la prueba para mostrar la inclusión.

Si $f$ obedece a la propiedad de cierre, sea $C$ sea cualquier cerrado en $Y$ . Defina $D = f^{-1}[C]$ y aplicar la propiedad de $f$ a $D$ para demostrar que $D$ es de hecho cerrado y concluir que $f$ es continua (como $C$ era arbitraria).

Answer 2

Vale, entonces quieres usar la definición de cierre para la dirección. Recuerda que el cierre de $A\subseteq X$ es el conjunto de todos aquellos puntos $x\in X$ tal que existe una vecindad $U\ni x$ con $U\cap A\neq\emptyset$ . ¿Puede mostrar ahora la misma propiedad para $f(x)$ ? Esto le dará la continua $\Rightarrow$ $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$ parte. Para la otra dirección, elija cualquier $B\subseteq Y$ y establece $A=f^{-1}(B)$ , a continuación, tratar de mostrar $A$ está cerrado.

Answer 3

Exactamente como dice la otra respuesta, la forma correcta de abordar una prueba como ésta (en realidad, cualquier prueba) es pensar detenidamente en las definiciones relevantes y en cómo se pueden utilizar. Hay muchas definiciones equivalentes de "cierre", así que daré un ejemplo del mismo tipo de pensamiento que utilizó Nelli, pero con una definición diferente.

Definición. El cierre $\overline{A}$ de un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ es la intersección de todos los subconjuntos cerrados de $X$ que contienen $A$ como subconjunto.

Esbozo de $({\!\implies\!})$ . En primer lugar, supongamos $f$ es continua. Queremos demostrar que $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$ para todos $A \subseteq X$ por lo que $A$ sea un subconjunto arbitrario de $X$ . Ahora queremos demostrar que $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$ para este conjunto concreto (arbitrario) $A$ que elegimos, así que $y \in f(\overline{A})$ ser arbitraria. Por definición, hay algún $x \in \overline{A}$ tal que $f(x) = y$ . Queremos demostrar que $y \in \overline{f(A)}$ lo que por definición significa que debemos demostrar que $y$ es un elemento de cada subconjunto cerrado de $Y$ que contiene $f(A)$ . Por lo tanto $D$ sea un subconjunto cerrado arbitrario de $Y$ tal que $f(A) \subseteq D$ . [Debe rellenar esta parte] Por lo tanto $y \in D$ . Desde $D$ era arbitraria, concluimos que $y \in \overline{f(A)}$ . Desde $y$ era arbitraria, concluimos que $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$ . Desde $A$ era arbitraria, esto completa la prueba de la dirección hacia delante.