Geometría algebraica "20 preguntas"

Question

Estoy tratando de ver si es posible hacer una "geometría algebraica de 20 preguntas de juego"

En una tarjeta de índice no se imprime, la ecuación para algunos algebraicas variedad $W$, en este caso, digamos que es el cero de

$x^{7}y^{3} - y^{7}z^{3} + z^{7}x^{3} = 0$.

En la instalación de este juego, hay tres tipos de preguntas:

1. Permitió preguntas: ¿cuál es el número de puntos racionales sobre la superficie? ¿Cuáles son los homología/cohomology/homotopy grupos de la superficie? En general, estas preguntas son acerca de alguna de las propiedades de la algebraicas imágenes de $W$. Estas preguntas se anima en el contexto del juego. ¿Cuál es la Kodaira dimensión de $W$? Ellos no tienen que ser preguntas sí/no.

2. No se permiten preguntas: "Es un punto de $(x,y,z,w)$ una parte de esta superficie?" (uno podría preguntar esto muchas, muchas veces y construir una imagen de la superficie)

3. Desalentado preguntas: "Es $W$ dado por el cero de $x^{7}+y^{4}z^{8}-xzw^{5}=4$?" (Digo desanimado porque el punto de este ejercicio no es la fuerza bruta de una respuesta, pero preguntas como esta son apropiadas al final, cuando la respuesta podría ser sí)

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El objetivo del juego es determinar lo $W$ es explícitamente (o, más en general, la variedad que el autor de la pregunta tiene en mente), o como Zev pone

"Hay una lista limitada de los invariantes de una variedad que determinan por completo?"

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Si un juego es posible, podría alguien se ejecutan a través de un hipotético de la transcripción de uno? (o, para el nivel de abstracción: ¿qué estrategia utilizaría para jugar?)

Si un juego no es posible, por favor explique por qué no.

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EDIT: Aclaración: yo podría haber pedido "Hay una variedad desconocida $W$: y todo lo que puede ser determinado sobre ella son sus invariantes, podemos decir claramente qué tipo de variedad es?", pero "todo lo que puede ser determinado" es algo arbitrario, así que he usado el marco de un juego de proporcionar una razón por la que no habría límites a la información disponible acerca de la variedad en cuestión.

Estoy más interesado en la maquinaria de la geometría algebraica que proporcione estrategias para reducir el número de preguntas que un jugador tendría que hacerse para determinar la variedad en cuestión, que en casos especiales que reducen a "estoy pensando en un número". En el caso de una veintena de preguntas estilo de juego: hay un algebraicas explícitas variedad que el jugador tiene en mente, y los otros jugadores de aquí la necesidad de algunos de estrategia razonable para determinar qué tipo de variedad es. (pidiendo un countably número infinito de preguntas no es una opción.)

Answer 1

No estoy seguro de que voy a grokking el espíritu de este juego (que es en realidad destinados a ser jugado, o se trata de algún tipo de pensamiento experiementar? si el último, para qué propósito?), pero:

Supongamos que se restringe la atención a las variedades algebraicas que se pueden especificar con precisión el uso de una cantidad finita de datos: por ejemplo, variedades algebraicas sobre $\overline{\mathbb{Q}}$. El número de clases de isomorfismo de esas variedades es countably infinito. Por ejemplo, yo puedo tomar una curva elíptica con $j$invariante en cualquier algebraica de números. Si quiero ser nonisomorphic incluso como resumen de los esquemas en lugar de los esquemas de más de $\overline{\mathbb{Q}}$ entonces puede tomar una curva elíptica con complejo de la multiplicación por la máxima orden de $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ $d$ rangos de todos los squarefree enteros positivos.

Si hay una infinidad de respuestas posibles, entonces cualquier secuencia finita de preguntas no es suficiente para determinar el isomorfismo de la clase de la variedad. Por el contrario, si permite una infinidad de preguntas, entonces usted puede enumerar las clases de isomorfismo de las variedades de más de $\overline{\mathbb{Q}}$ y hacer su $n$th pregunta: es su variedad isomorfo a $V_n$ ($n$th variedad en mi lista)? Usted dice que quiere "desalentar" a estas preguntas, pero yo no veo cuál es el punto de que es: por supuesto que se puede pedir a una más complicada secuencia infinita de preguntas, pero ¿por qué?

Añadido: el de la construcción requiere algunos conocimientos de aritmética geometría. Esto no es realmente necesario, así que voy a dar uno más simple: supongamos que yo deje que el interrogador de antemano saben que estoy recogiendo algunos curva de Fermat

$F_n: x^n + y^n - z^n = 0$

para $n \in \mathbb{Z}^+$. A continuación, el género de las $F_n$ es el aumento de la función de $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$, por lo que estos son sin duda nonsisomorphic variedades. Entonces es claro que realmente estamos jugando el juego de "estoy pensando en un número entero positivo" y $20$ preguntas, o cualquier predeterminado número finito de preguntas, no será suficiente. Sin embargo, si el interlocutor es permitido preguntar como gran un número finito de preguntas como ella necesita, entonces, por supuesto, con el tiempo ella va a ser capaz de adivinar el número. Es la misma para las clases de isomorfismo de las variedades de más de $\overline{\mathbb{Q}}$ ya que de esta forma un countably conjunto infinito. O al menos es lo mismo ignorar cuestiones algorítmicas efectividad: estoy asumiendo que cualquier pregunta se pidió obtiene una respuesta de sí o no. Si la efectividad es en realidad en cuestión, recomiendo que podemos intentarlo de nuevo con otra formulación de la pregunta.

Permítanme decir también que el OP no se menciona nada acerca de "isomorfismo" y, de hecho preguntas como: "Es este el punto en la variedad?" no tiene sentido en el contexto de las variedades hasta el isomorfismo. (De todos modos, "es este el punto en la variedad?" es una pregunta tonta preguntarse hasta, digamos, los subconjuntos algebraicos de afín $n$-espacio, ya que en que en ningún caso es posible determinar cuál es el subconjunto es preguntar a cualquier número finito de tales preguntas.) Si estamos hablando de resumen variedades no isomophism, por tonta razón por la que este forma una clase adecuada así que es muy apropiado para la reproducción de $20$ preguntas (o, incluso, $\kappa$ preguntas, para cualquier número cardinal $\kappa$). Si nos referimos a la, digamos, las variedades se da como cerrado subconjuntos del espacio proyectivo sobre $\mathbb{P}^n_{\overline{\mathbb{Q}}}$ sin duda es a través de algoritmos eficaces para preguntar "¿Está usted pensando en el subconjunto de $\mathbb{P}^n$ dado por la fuga de estos polinomios?" así que la pregunta que manifiestamente se derrumba "estoy pensando en un número..."