¿qué significa esta definición de conjunto definido sobre variables aleatorias independientes?

Question

Sea $X1,X2$ sean variables aleatorias independientes con $P[Xi = 0] = P[Xi = 1] = \frac{1}{2}$ para $i = 1, 2$ . ¿Cuál es el conjunto de variables aleatorias $A1 = \{X1 = X2\}$ ¿Qué quieres decir? He encontrado esta representación en el libro, pero no estoy seguro de lo que significa.

Answer 1

Aunque esta pregunta pueda parecer muy sencilla, no lo es comprenderla plenamente. A efectos generales, doy la siguiente respuesta elaborada.

En general, si $X_1$ et $X_2$ son dos variables aleatorias cualesquiera en un espacio de probabilidad común $(\Omega,\mathcal{F},{\rm P})$ entonces $\lbrace X_1 = X_2 \rbrace$ es una abreviatura del acontecimiento $\lbrace \omega \in \Omega : X_1 {(\omega)} = X_2 {(\omega)} \rbrace$ . Para su ejemplo concreto, podemos definir $(\Omega,\mathcal{F},{\rm P})$ como sigue: $\Omega = \lbrace (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \rbrace$ , $\mathcal{F}=2^\Omega$ (el conjunto de potencias de $\Omega$ ), y, para cualquier $\omega = (i,j) \in \Omega$ , ${\rm P}(\lbrace \omega \rbrace) = 1/4$ . Obsérvese que, por aditividad, esto determina (la medida de probabilidad) ${\rm P}$ en $\mathcal{F}$ por ejemplo, $$ {\rm P}(\lbrace (0,0),(1,0),(1,1)\rbrace) = {\rm P}(\lbrace (0,0)\rbrace) + {\rm P}(\lbrace (1,0)\rbrace) + {\rm P}(\lbrace (1,1)\rbrace) = 3/4. $$ Ahora, podemos definir las variables aleatorias $X_1$ et $X_2$ como sigue. Para cualquier $\omega = (i,j) \in \Omega$ , $X_1 {(\omega)} = i$ et $X_2 {(\omega)} = j$ . Así, $$ {\rm P}(X_1 = 0) := {\rm P}(\lbrace \omega \in \Omega : X_1 {(\omega)} = 0 \rbrace) = {\rm P}(\lbrace (0,0),(0,1) \rbrace) = 1/2 $$ y $$ {\rm P}(X_1 = 1) := {\rm P}(\lbrace \omega \in \Omega : X_1 {(\omega)} = 1 \rbrace) = {\rm P}(\lbrace (1,0),(1,1) \rbrace) = 1/2, $$ y análogamente para $X_2$ . En cuanto al acontecimiento en cuestión, $$ \lbrace X_1 = X_2 \rbrace : = \lbrace \omega \in \Omega : X_1 {(\omega)} = X_2 {(\omega)} \rbrace = \lbrace (0,0),(1,1) \rbrace, $$ y así $$ {\rm P}(X_1 = X_2) := {\rm P}(\lbrace \omega \in \Omega : X_1 {(\omega)} = X_2 {(\omega)} \rbrace) = {\rm P}(\lbrace (0,0),(1,1) \rbrace) = 1/2. $$ Por último, veamos que $X_1$ et $X_2$ son efectivamente independientes (esto debería quedar claro a partir de nuestra construcción). Esto equivale a demostrar que, para cualquier $i,j \in \lbrace 0,1 \rbrace$ , $$ {\rm P}(X_1 = i, X_2 = j) = {\rm P}(X_1 = i) {\rm P}(X_2 = j), $$ es decir, $$ {\rm P}(\lbrace \omega \in \Omega : X_1 {(\omega)} = i, X_2 {(\omega)} = j \rbrace) = {\rm P}(\lbrace \omega \in \Omega : X_1 {(\omega)} =i \rbrace ){\rm P}(\lbrace \omega \in \Omega : X_2 {(\omega)} =j \rbrace ). $$ Efectivamente, ambos lados son iguales a $1/4$ .

Answer 2

Como complemento a la respuesta de Shai Covo, cabe señalar que la convención de escribir algo como $\{X_1 = X_2\}$ para $\{\omega \in \Omega : X_1(\omega) = X_2(\omega)\}$ esencialmente "suprimiendo la $\omega$ s", es muy común en probabilidad, y lo verás mucho a medida que continúes tus estudios. Esencialmente, cualquier "afirmación" escrita entre llaves debe interpretarse como el conjunto de todas las $\omega$ para el que la afirmación (que generalmente es algo en términos de variables aleatorias, que en realidad son funciones de $\omega$ ) es verdadera. Otros ejemplos comunes son cosas como $\{X_n \to X\}$ que es el conjunto de todos los $\omega$ para lo cual $X_n(\omega)$ converge a $X(\omega)$ . Al principio puede resultarle útil "rellenar el $\omega$ s" al leer.

Sin embargo, por intuición, a menudo es fácil entender tales expresiones. Si estás haciendo un experimento en el que lanzas dos monedas, con caras y tablas etiquetadas como 0 y 1, $\{X_1 = X_2\}$ es sólo el caso de que las dos monedas salgan iguales.

Answer 3

Es el acontecimiento que $X_1 = X_2$ . Así que $X_1 = 0, X_2 = 0$ ou $X_1 = 1, X_2 = 1$ .