Pregunta simple sobre probabilidad bayesiana

Question

Supongamos que evalúo la probabilidad de que un sospechoso de asesinato sea culpable en un 10%. Entonces encuentro un rastro de sangre en la escena del crimen y sólo el 1% de la población tiene este tipo de sangre. El sospechoso tiene este grupo sanguíneo y el análisis es preciso (digamos un 100% de precisión para simplificar). ¿Cuál es ahora la probabilidad de que el sospechoso sea culpable?

posterior = prior x probabilidad / normalización = .1 x 1 / .01 = 10

¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Respuesta corta: Al denominador le falta un término. Falta la parte "inocente y evidencia" que es .009

Respuesta larga:

Quiere calcular la probabilidad de culpabilidad dado que tenemos la prueba del grupo sanguíneo raro. Suponiendo que si alguien es culpable, siempre vamos a encontrar su tipo de sangre como evidencia entonces:

$P(Guilty|Evidence) = \frac{P(Evidence|Guilty) P(Guilty)}{P(Evidence)}$

$P(Guilty|Evidence) = \frac{P(Evidence|Guilty) P(Guilty)}{P(Guilty)P(Evidence|Guilty) + P(NotGuilty)P(Evidence|NotGuilty)}$

$P(Guilty|Evidence) = \frac{1 \times 0.10}{0.10 \times 1 + 0.90 \times 0.01}$

$P(Guilty|Evidence) = 0.917$

Answer 2

Estás calculando la probabilidad posterior de que un sospechoso concreto sea culpable, no de que una persona al azar de la población general sea culpable. Por lo tanto, el término de normalización no es la probabilidad de que alguien de la población general tenga el grupo sanguíneo, sino la probabilidad de que el sospechoso tenga ese grupo sanguíneo. dada la probabilidad previa de que sean culpables . Dado que deben tener el tipo de sangre si son culpables, esto es igual a $$\begin{align*} \mathbb{P}(\textrm{suspect has blood type}) =& \mathbb{P}(\textrm{suspect guilty})\\ &+ \mathbb{P}(\textrm{suspect innocent}) \mathbb{P}(\textrm{suspect has blood type if innocent})\\ =& 0.1 + 0.9 \times 0.01\\ =& 0.109, \end{align*}$$

lo que conduce a una probabilidad posterior válida.