Si $\alpha$ es una raíz de $f(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_0$ entonces $|\alpha| \leq n \max_i |a_i|$

Question

Sea $f(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_0$ . Sea $\alpha$ sea una raíz de $f$ . Entonces demuestre que $\alpha \leq n \max_{i} |a_i|$ .

Sólo pude resolverlo para el caso especial en que $|a_i| < 1$ para todos $i$ . Pensé que sería capaz de generalizar esto pero no puedo entenderlo en absoluto. ¿Puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

El resultado no es del todo cierto. Primero probamos una versión correcta y luego demostramos que hay polinomios para los que el resultado no se cumple.

Sea $M$ sea el máximo de los $|a_i|$ . Tenemos $$\alpha^n=-\left(a_{n-1}\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}+\cdots +a_0\right).$$ Por la desigualdad del triángulo, se deduce que $$|\alpha|^n\le M\left(|\alpha|^{n-1}+|\alpha|^{n-2}+\cdots+1\right).\tag{1}$$ Si $|\alpha|\ge 1$ entonces el lado izquierdo de (1) es $\le Mn|\alpha|^{n-1}$ y el resultado se deduce para este caso.

Un contraejemplo: Si $|\alpha|\lt 1$ entonces podemos tener problemas. Por ejemplo, consideremos la ecuación $x^2-\frac{x}{4}-\frac{1}{4}=0$ . Una raíz es $\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{17}}{2}$ . El máximo de los $|a_i|$ es $\frac{1}{4}$ et $n=2$ pero la raíz es mayor que $\frac{1}{2}$ .

Se puede obtener un resultado correcto sustituyendo $\max(|a_i|)$ por $\max(1/n,|a_i|)$ y, sin duda, de muchas otras maneras.