Multiplicidad del módulo G

Question

Actualmente estoy trabajando en el libro de Bruce Sagan El grupo simétrico .

La siguiente proposición se ofrece sin pruebas:

Sea $V$ y $W$ sea $G$ -módulos con $V$ irreducible. Entonces dim Hom( $V$ , $W$ ) es la multiplicidad de $V$ en $W$ .

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Esta proposición es un refuerzo del siguiente corolario del Lemma de Schur:

Sea $V$ y $W$ ser dos $G$ -módulos con $V$ siendo irreducible. Entonces dim Hom( $V$ , $W$ ) = $0$ sólo si $W$ no contiene ningún submódulo isomorfo a $V$ .

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Entiendo por qué el corolario es cierto:

• Supongamos $W$ contiene un submódulo isomorfo a $V$ . Entonces es evidente que dim Hom( $V$ , $W$ ) > $0$ debido al isomorfismo de $V$ al submódulo.
• Supongamos que im Hom( $V$ , $W$ ) > $0$ . Entonces debe existir algún homomorfismo no nulo de $V$ a algún submódulo de $W$ . Como el homomorfismo es distinto de cero, su núcleo no es $V$ por lo que el núcleo es cero, por el lema de Schur. Por tanto, es inyectivo. Como es suryectiva a su imagen, es un isomorfismo.

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¿Cómo se puede demostrar esta afirmación? ¿Es la demostración similar a la del corolario?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Pista: $~\hom_G(V,\bigoplus U)=\bigoplus\hom_G(V,U)$

Answer 2

Escribamos $W \cong mV \oplus m_1 W^{(1)} \oplus m_2 W^{(2)} \oplus ... \oplus m_kW^{(k)}$ . Entonces

\begin{equation} \text{dim Hom}(V,W) = \text{dim Hom}(V, mV \oplus m_1 W^{(1)} \oplus m_2 W^{(2)} \oplus ... \oplus m_kW^{(k)}) = \end{equation}

\begin{equation} m\cdot\text{dim Hom}(V,V) + m_1\cdot\text{dim Hom}(V,W^{(1)}) + m_2\cdot\text{dim Hom}(V,W^{(2)}) + ... + m_k\cdot\text{dim Hom}(V,W^{(k)}) \end{equation}

Pero como $V$ y $W^{(i)}$ no es equivalente para cualquier $i$ , $\text{dim Hom}(V,W^{(i)}) = 0$ por el corolario que proporcioné anteriormente.

Por lo tanto $\text{dim Hom}(V,W) = m\cdot\text{dim Hom}(V,V)$ . En $V$ es irreducible, $\text{dim Hom}(V,V) = 1$ Así que

\begin{equation} \text{dim Hom}(V,W) = m.\end{equation}

¿Está bien hecho?

¿Cómo se puede demostrar que $~\hom_G(V,\bigoplus U)=\bigoplus\hom_G(V,U)$ ?

Muchas gracias de nuevo.