$L^p$ espacio: Para $1≤p≤∞$ encuentre los valores del parámetro $λ$ para lo cual $\lim$ (integral) $= 0$

Question

Para $1p\infty$ encuentre los valores del parámetro \lambda para los cuales $\displaystyle\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \left(\displaystyle \frac{1}{{\epsilon}^{\lambda}}{\int_{0}^{\epsilon}f(x)dx} \right)=0$ , $ f{L}^{p}[0,1]$

No veo cómo abordar este problema. El título de la sección de la que proviene este problema es "las desigualdades de Young, Holder y Minkowski" del Análisis Real de Royden, pero no veo cómo se aplica aquí. Agradeceré cualquier sugerencia.

Answer 1

Por la desigualdad de Hölder $$\frac{1}{\epsilon^\lambda}\int_0^\epsilon f=\frac{1}{\epsilon^\lambda}\int_0^1 f\chi_{[0,\epsilon]}\leq\frac{||f||_{L^p}||\chi_{[0,\epsilon]}||_{L^q}}{\epsilon^\lambda}=\frac{||f||_{L^p}{\epsilon^\frac{1}{q}}}{\epsilon^\lambda}$$ por lo que es suficiente para $\lambda<\frac{1}{q}$