Versión dual de "los representables preservan límites"

Question

El hecho de que $\mathscr A(A,-):\mathscr A\to \textbf{Set}$ preserva los límites indexados por $D$ se traduce en que $$\lim\mathscr A(A,D(-))\simeq \mathscr A(A,\lim D)$$

Estoy tratando de demostrar que la versión dualizada debería ser $$\lim \mathscr A(D(-),A)\simeq \mathscr A(\text{colim} D,A)$$ (no me resulta obvio de inmediato por qué deberíamos tener colímite en el RHS y por qué el orden está invertido en comparación con la primera ecuación mostrada). Entonces, en otras palabras, la afirmación dual dice que $\mathscr A(-,A):\mathscr A^{op}\to \textbf {Set}$ preserva los límites indexados por $D$. Pero tengo problemas para desentrañar esto. Por ejemplo, supongamos que $D:I\to \mathscr A$ es un diagrama de forma $I$ en $\mathscr A$. "Preservar los límites indexados por $D$" debería significar que la imagen del límite de $D$ bajo el functor dado es isomorfa al límite del diagrama compuesto. Pero en este caso, el diagrama compuesto no está definido (el dominio de $\mathscr A(-,A) $ no es igual al rango de $D$). Por supuesto, se puede considerar, en lugar de $D$, un diagrama $D':I\to\mathscr A^{op}$, pero pensé oficialmente que la preservación de los límites indexados por $D$ significa que se preservan los límites de diagramas $D:I\to \mathscr A$, por lo que nada nos permite considerar ese diagrama $D'$. Entonces, ¿cómo lidiar con este asunto?

Answer 1

Las afirmaciones dicen exactamente lo mismo, y no es necesario dar una segunda prueba. Sabes que si $D : I \to \mathcal{A}$ es un diagrama pequeño cuyo límite (en $\mathcal{A}$) existe, entonces $$\lim \mathcal{A}(A,D(-)) \cong \mathcal{A}(A,\lim(D)).$$ Por lo tanto, para cualquier diagrama pequeño $D : I \to \mathcal{A}$, podemos aplicar esto al diagrama dual $D^{\mathrm{op}} : I^{\mathrm{op}} \to \mathcal{A}^{\mathrm{op}}$: Si el límite de $D^{\mathrm{op}}$ existe (en $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$), entonces $$\lim \mathcal{A}^{\mathrm{op}}(A,D^{\mathrm{op}}(-)) \cong \mathcal{A}^{\mathrm{op}}(A,\lim(D^{\mathrm{op}}))).$$ Dado que $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}(A,B) := \mathcal{A}(B,A)$, $D^{\mathrm{op}}(i) := D(i)$, y dado que tenemos $$\lim(D^{\mathrm{op}}) = \mathrm{colim}(D),$$ esto se puede escribir como $$\lim \mathcal{A}(D(-),A) \cong \mathcal{A}(\mathrm{colim}(D),A).$$

Answer 2

La fórmula $\lim_i \mathscr A(Di,a) \cong\mathscr A(\text{colim}_i\, Di,a)$ es correcta. De hecho, es simplemente una reformulación de la propiedad universal de los colímites. Primero note que el funtor $\mathcal A(-,a)$ es contravariante. Si tiene un cono colímite $\mu: D \Rightarrow l$ en $\mathcal A$, entonces este cono colímite es de hecho un cono límite en $\mathcal A^{op}$. Por lo tanto, la fórmula $\lim_i \mathscr A(Di,a) \cong\mathscr A(\text{colim}_i\, Di,a)$ dice que $\mathcal A(-,a)$ preserva límites. El cambio de colímites a límites se debe a que nos gusta denotar flechas en $\mathcal A^{op}$ por las flechas correspondientes en $\mathcal A$. A menudo no nos comprometemos completamente con la categoría opuesta cuando trabajamos en $\mathcal A$, porque complicaría las cosas más de lo necesario. Simplemente decimos, oh, esa variable es contravariante, esa es covariante. Creo que ahí radica tu confusión. Si quieres ser preciso, necesitas considerar $D$ como el funtor $D: I^{op} \to \mathcal A^{op}$.

A continuación te daré una intuición sobre por qué la fórmula debería ser verdadera. Aquí hay una heurística que funciona en muchas categorías concretas: Dar un elemento en un límite $x\in \lim_i Di$ es lo mismo que dar elementos $x_i\in Di$ de cada objeto $Di$ de modo que se cumplan una serie de ecuaciones, una por cada flecha en la categoría $I$. Esto ciertamente es cierto en $\mathbf{Set}$. Por lo tanto, un elemento $f\in \lim_i\mathcal A(Di,a)$ es lo mismo que una colección de elementos $f_i \in \mathcal A(Di,a)$ de modo que se cumplan una serie de ecuaciones. Estas son precisamente las ecuaciones que deben cumplirse para que $(f_i)$ sea un cocono bajo $D$. Entonces, un elemento de $\lim_i\mathcal A(Di,a)$ es, de forma natural, lo mismo que un cocono bajo $D$. El siguiente paso es claro. La propiedad universal de los colímites establece que un cocono bajo $D$ con vértice $a$ es lo mismo que una flecha $\text{colim} D \to a$. Por lo tanto, un elemento de $\lim_i\mathcal A(Di,a)$ es lo mismo que un elemento de $\mathcal A(\text{colim} D,a)$. Esta es la biyección que estábamos buscando.

La explicación es más larga de lo que pretendía. Aquí está el punto principal: La isomorfía $\lim_i \mathscr A(Di,a) \cong\mathscr A(\text{colim}_i\, Di,a)$ hace precisa la heurística de que un mapa fuera de $\text{colim} D$ es lo mismo que un montón de mapas fuera de los componentes $Di$ que satisfacen ciertas ecuaciones. Adicionalmente: El siguiente hecho debería ahora no ser sorprendente. Si un cocono $\mu: D\Rightarrow l$ es mapeado a conos límite en $\textbf{Set}$ por todos los funtores contravariantes $\mathcal A(-,a)$, entonces es un colímite. La premisa simplemente significa que $\mu$ satisface la propiedad definitoria de un colímite para todos $a$.