Una variación y la expansión de algunas de las ideas aquí:
En mi primer curso de topología nos enseñaron un útil "de la cadena-caracterización" de la conexión. Algunas definiciones en primer lugar: si $\mathcal{U}$ es un cover de un espacio de $X$, luego de una cadena en $\mathcal{U}$ es finita conjunto indizado $U_1,\ldots U_n \in \mathcal{U}$ tal que para todos los $i=1,\ldots n-1$ tenemos que $U_i \cap U_{i+1} \neq \emptyset$, y se llama una cadena de $x$ $y$ $\mathcal{U}$(tanto en puntos de $X$) cuando nos menaje han $x \in U_1$ $y \in U_n$.
Ahora, un espacio de $X$ está conectado iff para cada cubierta abierta $\mathcal{U}$ $X$ tenemos una cadena entre cualquier par de puntos de $X$.
La cadena condición implica la conexión, porque si $X$ es no-conectados, tenemos la descomposición de la $X$ 2 no vacío discontinuo abrir conjuntos de $U$$V$, y, a continuación, para $x \in U$ $y \in V$ no puede haber ninguna cadena de $x$ $y$en la cubierta de la $\mathcal{U} = \{U, V\}$.
La otra manera es una variante de las pruebas en otras respuestas: vamos a $\mathcal{U}$ ser cualquier abra la cubierta de $X$ y corregir $x \in X$. A continuación, defina $O$ a ser el conjunto de todos los $y \in X$ tal que hay una cadena de$x$$y$$\mathcal{U}$.
$O$ no está vacía, como cualquier $x$ $X$ está cubierto por algunas de las $U \in \mathcal{U}$ y, a continuación, $U_1 = U$ es una cadena de$x$$x$, lo $x$$O$.
$O$ está abierto: vamos a $y$ $O$ y deje $x \in U_1,\ldots U_n$ ser un testigo de la cadena (de$\mathcal{U}$). A continuación, para cada $z$$U_n$, la misma cadena será testigo de que $z$$O$, y así $U_n \subset O$, y cada punto de $O$ es un punto interior.
Tenga en cuenta que nosotros no necesita la tapa abierta, sólo que el interior de la cubierta $X$.
$O$ se cierra: supongamos que $y$ no $O$, y deje $U$ ser un elemento de $\mathcal{U}$ que cubre $y$. Supongamos que algunos de los $z$$U$$O$, y de nuevo dejó $x \in U_1,\ldots U_n$ ser un testigo de la cadena, así que con $z \in U_n$. Pero, a continuación, la cadena de $x \in U_1,\ldots U_n,U_{n+1} = U$ es una cadena de $\mathcal{U}$ así, porque todas las intersecciones no vacías en el principio, por supuesto, y $U_n \cap U_{n+1}$ no está vacía, ya que ambos contienen $z$, y este sería testigo de que tenemos una cadena de$\mathcal{U}$$x$$y$. Pero, a continuación,$y$$O$, contrario a lo que se supone. Por lo $U$ misses $O$ todo $O$ es cerrado.
Pero ahora la conexión de la $X$ fuerzas de $O = X$ (sólo hay uno que no está vacía clopen conjunto) y luego tenemos lo que queríamos en la cadena de condición, como $x$ fue arbitraria.
Tener a nuestra disposición casi hemos terminado: vamos a $f$ ser localmente constante y para cada $x$ elegir un barrio de $U_x$ tal que $f$ es constante en $U_x$.
Por supuesto, volvemos a considerar la cubierta $\mathcal{U} = \{U_x : x \in X \}$, y corregir $x$$X$.
Si $y$ es otro punto en $X$, entonces tenemos una cadena de $\mathcal{U}$ $x$ $y$pero cuando 2 conjuntos de $\mathcal{U}$ se cruzan, significa $f$ es constante en su unión. De ello se desprende que $f(x) = f(y)$ como se requiere.
Otras aplicaciones: en un localmente compacto (en el sentido de que cada punto tiene un pacto de vecindad) conectado espacio para cada $2$ puntos existe un subconjunto compacto de $X$ que los contiene a ambos. O localmente trayectoria-conectado y conectado espacio trayectoria-conectado
(utilice la ruta de acceso conectado a abrir los barrios, se obtiene una cadena de$x$$y$, un pegamento juntos caminos de $x$ a un punto en la intersección de las $U_1 \cap U_2$, un punto en $U_2 \cap U_3$ etc $y$.) y así sucesivamente. Se permite todo tipo de propiedades locales para obtener expandido más a nivel mundial para espacios conectados.
