Rango de curvas elípticas, paridad, finitud de Sha

Question

$\newcommand{\Sha}{}\newcommand{\alg}{\mathrm{alg}}\DeclareMathOperator\Sel{Sel}\DeclareMathOperator\rank{rank}$ Consideremos las curvas elípticas $E$ de $j$ -invariante cero que ni ellas ni sus curvas isógenas tienen puntos de torsión racionales. A partir de la $3$ -en estas curvas tenemos que el rango algebraico \begin{equation}(1) \quad \rank_{\alg}(E/\mathbb{Q}) = \dim_{\mathbb{F}_{3}}(E(\mathbb{Q})/3E(\mathbb{Q})) = \dim_{\mathbb{F}_{3}}\Sel_{3}(E/\mathbb{Q}) - \dim_{\mathbb{F}_{3}}\Sha(E/\mathbb{Q})[3].\end{equation}

Si suponemos la finitud del $3$ -parte principal $\Sha(E/\mathbb{Q})[3^{\infty}]$ entonces por el emparejamiento Cassels-Tate tenemos que $\Sha(E/\mathbb{Q})[3]$ tiene dimensión par, por lo que de (1) se deduce que $\rank_{\alg}(E/\mathbb{Q}) = \dim_{\mathbb{F}_{3}}(E(\mathbb{Q})/3E(\mathbb{Q}))$ tiene la misma paridad que $\dim_{\mathbb{F}_{3}}\Sel_{3}(E/\mathbb{Q})$ . Llamemos a esto resultado de paridad .

Pregunta 1: ¿Existen ejemplos de curvas elípticas de este tipo (o de cualquier otra curva elíptica no necesariamente de $j$ -invariante cero y no necesariamente para $p=3$ ) que tienen rango $> 1$ donde el resultado de paridad se demuestra sin suponer la finitud de $\Sha(E/\mathbb{Q})[3^{\infty}]$ ?

Pregunta 2: Si se muestra el resultado de paridad para una curva elíptica sin asumir la finitud de $\Sha(E/\mathbb{Q})[3^{\infty}]$ ¿implicaría eso la finitud de $\Sha(E/\mathbb{Q})[3^{\infty}]$ ?

Pregunta 3: ¿La finitud de $\Sha(E/\mathbb{Q})[3^{\infty}]$ para cualquier curva elíptica de rango $>1$ ?

Answer 1

Pregunta 3: Sí, para muchas curvas se puede calcular el grupo de 3-Selmer y demostrar que es igual a la contribución del grupo de Mordell-Weil y, por tanto, que $(E/\mathbb{Q})[3^{\infty}]$ es trivial. Utilizando la conjetura principal probada en la teoría de Iwasawa existe un método implementado para calcular un límite superior de orden de $(E/\mathbb{Q})[p^{\infty}]$ que muy a menudo es exacta.

Pregunta 2: Que yo sepa, no. Podríamos tener una copia de $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^2$ en $(E/\mathbb{Q})$ ; la paridad aún podría mantenerse.

Pregunta 1: El resultado de la paridad es la pregunta si $(E/\mathbb{Q})[3]$ tiene una dimensión uniforme como $\mathbb{F}_3$ -espacio vectorial. Como en la pregunta 3, se pueden encontrar ejemplos en los que se puede determinar que el rango es $r=2$ utilizando un $2$ -descenso y la $3$ -Se puede determinar el grupo selmer. Entonces se conoce la dimensión de $(E/\mathbb{Q})[3]$ pero aún no se conoce su finitud.

(Lo que se llama resultado de paridad no debe confundirse con $p$ -paridad o la conjetura de paridad que vincula el rango con el rango analítico).