Dado un discriminante d>0 (hazlo fundamental si es más fácil), ¿cuándo puede un primo p ser el coeficiente $ x^2 $ de una forma cuadrática indefinida reducida?
Es decir, ¿para qué p hay una forma reducida $ px^2 + bxy + cy^2, $ con $ b^2-4pc=d $?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Recomiendo un libro de Duncan A. Buell llamado "Formas Cuadráticas Binarias".
Primero, descartamos el caso donde $d$ es un cuadrado. En tal caso, las formas representan progresiones aritméticas enteras. Por ejemplo, con $x^2 - y^2$ y $d = 4$ obtenemos $ (n+1)^2 - n^2 = 2 n + 1.$ O, con $x y$ y $d=1$, tenemos $n \cdot 1 = n.
Hay que tener en cuenta siempre que $$ d \equiv 0,1 \pmod 4.$$
¿Para qué primos $p > 0$ hay alguna forma, reducida o no, que tenga a $p$ como coeficiente "diagonal"? Con $p$ impar que no divide a $d$, esta respuesta es básicamente reciprocidad cuadrática. Estamos exigiendo $$ \beta^2 \equiv d \pmod p $$ Si podemos resolver esto, es decir, $(d | p) = 1$, podemos elegir ya sea $b = \beta$ o $ b = \beta + p$ para disponer $$ b^2 \equiv d \pmod {4p}. $$ Pero esta es la condición $$ b^2 = d + 4 p c, $$ o $ b^2 - 4 p c = d. $$
Hay que tener en cuenta además la forma $$ (-p)x^2 + b x y + (-c) y^2 $$ con el mismo discriminante. Así que mientras no preguntes si las dos formas son equivalentes, estamos bien.
Finalmente, preguntaste sobre formas "reducidas", que es decir, coeficientes $$ \langle a,b,c \rangle $$ y discriminante $d$ con $$ 0 < b < \sqrt{d}, \; \; \mbox{y} \; \; \sqrt{d} - b < 2 | a | < \sqrt{d} + b. $$ Aquí tenemos el teorema de Lagrange que nos dice que cualquier número representado $n$ ocurre como coeficiente de $x^2$ en una forma reducida si $$ | n | < \; \frac{1}{2} \; \sqrt{d}, $$ así que tienes una respuesta sencilla para primos pequeños. Es un poco complicado si tienes $$ \frac{1}{2} \; \sqrt{d} < p < \; \sqrt{d} .$$ Aquí sugiero crear una forma y luego chequear el ciclo completo de formas reducidas en su clase de equivalencia. La receta para hacer exactamente eso está en las páginas 21-23 de Buell.
EDITAR: Me temo que no fui lo suficientemente cauteloso en lo que respecta a los primos que dividen al discriminante. Es verdad que 2 se representa cuando $ d \equiv 1 \pmod 8$ y no cuando $ d \equiv 5 \pmod 8. $ Pero tan pronto como tenemos un discriminante par se necesita cuidado. El problema es la existencia de formas no primitivas, $$ \langle a,b,c \rangle $$ con $$ \gcd(a,b,c) \neq 1. $$ Lo que sigue es de la página 75 de Buell. Si $ d \equiv 0 \pmod {16}$ entonces 2 no se representa por una forma primitiva, pero si $ d \equiv 8 \pmod {16}$ lo es, por la clase de la forma primitiva (pero no reducida) $$ \langle 2,0,\frac{-d}{8} \rangle .$$ Si $ d \equiv 4 \pmod {16}$ entonces 2 no se representa por una forma primitiva, pero si $ d \equiv 12 \pmod {16}$ lo es, por la clase de la forma primitiva (pero probablemente no reducida) $$ \langle 2,2,\frac{4-d}{8} \rangle. $$ Bueno, ahora que veo el Teorema 4.24 de Buell, el caso de primos impares $p$ que dividen el discriminante es relativamente limpio. Si $$ p^2 | d$$ entonces solo formas no primitivas representan a $p. $ Si $$ p \parallel d$$ entonces $p$ es representado por una forma primitiva, ya sea $$ \langle p,0,\frac{-d}{4 p} \rangle $$ si $d$ es par, o $$ \langle p,p,\frac{p^2-d}{4 p} \rangle $$ si $d$ es impar. Mis comentarios sobre el tamaño de $p$ y formas reducidas siguen aplicando.
