Toda derivación de $M_n (\mathbb{R})$ ¿son interiores?

Question

¿Cómo puedo demostrar esta proposición?

Proposición: Toda derivación de $M_n (\mathbb{R})$ con respecto a la multiplicación de matrices son internas.

Answer 1

Sea $K$ sea un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ , $L$ sea el álgebra de Lie $M_n(K),[.,.]$ , $ad(L)=\{ad_x:y\rightarrow xy-yx=[x,y]|x\in L\}$ , $der(L)$ sea el conjunto de derivaciones sobre $L$ .

Prop 0. $L$ no tiene ideal propio. (muy conocido)

Objeto 1. $ad(L)$ es un ideal de $der(L)$ .

Prueba. $[\delta,ad_x]=ad_{\delta x}$ .

Proposición 2. $x\in L\rightarrow ad_x\in ad(L)$ es un isomorfismo de álgebra de Lie.

Prueba. $ad_{[x,y]}=[ad_x,ad_y]$ .

Proposición 3. La forma Killing sobre $L$ : $K_L(x,y)=Tr(ad_x.ad_y)$ es no degenerado y $K([x,y],z)=K(x,[y,z])$ .

Prueba. Obsérvese que $S=\{x\in L|$ para cada $y\in L,K_L(x,y)=0\}$ es un ideal de $L$ . Es fácil encontrar $x,y$ s.t. $K(x,y)\not= 0$ ; según 0., $S=\{0\}$ .

Observación. $K_{ad(L)}$ es la restricción de $K_{der(L)}$ y, según 2.,3., es no degenerada. Sea $I$ sea el ortogonal de $ad(L)$ en $der(L)$ con respecto a $K_{der(L)}$ Entonces $I\cap ad(L)=\{0\}$ ; según 1., son ideales de $der(L)$ s.t. $[I,ad(L)]\subset ad(L)\cap I=\{0\}$ .

Sea $\delta\in I$ según 1., para cada $x$ , $ad_{\delta x}=0$ ; según 2., para cada $x$ , $\delta_x=0$ y $\delta= 0$ . Conclusión $ad(L)=der(L)$ .

Answer 2

Las matrices son Morita equivalentes a su anillo subyacente, y los anillos Morita equivalentes tienen cohomología de Hochschild isomórfica. Un campo como álgebra sobre sí mismo tiene cohomología trivial para grados distintos de cero.