Demuéstralo: $ \int_{1}^{3}\int_{0}^{x-1} f_{x}(x,y)dydx = -\frac{4}{3}$

Question

Sea f(x,y) una función diferenciable que satisface $f(3,y-1) = (y-1)(y-3) + f(y,y-1)$

Demuéstralo:

$$ \int_{1}^{3}\int_{0}^{x-1} f_{x}(x,y)dydx = -\frac{4}{3}$$

No sé por dónde empezar esta pregunta. ¿Cómo convierto la primera ecuación en una forma que pueda integrar?

Answer 1

Para quien no lo entienda, cambia el orden de integración así:

$(1)$ $ 0 \le y \le x-1 \\$
$(2)$ $1 \le x \le 3 $

A partir de (1) podemos utilizar nuestro x-max para obtener nuestros límites y

$ 0 \le y \le 2 \\$

y entonces podemos usar nuestras identidades para encontrar el límite x.

$y + 1 \le x \le 3 \\$

El resto es trivial