Supongamos que $K \subset \mathbb{R}$ es no vacía y compacta, y $F \subset \mathbb{R}$ es no vacío y cerrado. Decide si los siguientes conjuntos son definitivamente compactos, definitivamente cerrados, ambos o ninguno.
(1) $K \cap F$
Mi intento: Desde $(K \cap F) \subseteq K$ todas las tapas abiertas de $(K \cap F)$ debe tener una subcubierta finita, lo que significa que $(K \cap F)$ es definitivamente compacto.
(2) $\overline{F^c \cup K^c}$
Mi intento: Desde $\overline{F^c \cup K^c}$ es el cierre de $F^c \cup K^c$ debe (definitivamente) cerrarse. Ahora bien, como $K$ está limitada, $K^c$ debe ser ilimitado, lo que significa que $\overline{F^c \cup K^c}$ no es compacto.
(3) $K\setminus F = K \cap F^c$
Mi intento: Puesto que ( $K \cap F^c) \subseteq K$ es definitivamente compacta (mismo razonamiento que en (1)).
(4) $\overline{K \cap F^c}$
Mi intento: Está definitivamente cerrado desde $\overline{K \cap F^c}$ es el cierre de $K \cap F^c$ . Desde $K$ está acotada, y puesto que $(K \cap F^c) \subseteq K$ , $\exists [a, b]$ s.t. $(K \cap F^c) \subseteq [a, b]$ . Pero, puesto que $\overline{K \cap F^c}$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $K \cap F^c$ debe existir un conjunto cerrado mayor que contenga $\overline{K \cap F^c}$ que hace que $\overline{K \cap F^c}$ limitado. Entonces, $\overline{K \cap F^c}$ es definitivamente compacto.
¿Puede alguien verificar estas respuestas? Además, ¿alguien puede explicar qué significa "ambos" en la pregunta? Si digo que un conjunto es definitivamente compacto, entonces debe ser definitivamente cerrado. Entonces, ¿cómo puede un conjunto ser "a la vez" cerrado y compacto? Muchas gracias.
