Quiero probar:
Si $f$ es un mapeo continuo de un espacio métrico $X$ en un espacio métrico $Y$ demuestre que $$f(\overline{E}) \subset \overline{f(E)} $$ para cada conjunto $E\subset X$ . ( $\overline{E}$ denota el cierre de $E$ .)
Si $x$ está en $\overline{E}$ o bien es un punto límite de $E$ o un punto de $E$ o ambos. Si es un punto de $E$ entonces $f(x)$ se encuentra en $f(E)$ . y $$f({E}) \subset \overline{f(E)} $$ . Si es un punto límite, hay infinitos elementos a su alrededor. Esto significa que como $f$ es continua, $|f(x_1)-f(x)|< $$ \epsilon$ y podemos hacer $\epsilon$ muy cercano a cero y siempre habrá elementos $x_1$ en E para satisfacer $|x_1-x|<$$ \delta$ . Así que $f$ es una función constante para que $|f(x_1)-f(x)|=0< $$ \epsilon$ o el $f(x_1)$ tienen que acercarse $f(x)$ como los $x_1$ cada vez más cerca de $x$ . Esto significa que $f(x)$ es un punto límite de $f(E)$ por lo que está contenido en $\overline{f(E)} $
Gracias por su tiempo
